2005-湖北卷文-05 单-球的相似比

本题导读

本题考查球的体积与表面积的相似比关系，以及根式的运算。

📌【题干】

Question

（2005年湖北卷(文)） 木星的体积约是地球体积的 $240\sqrt{30}$ 倍，则它的表面积约是地球表面积的()

A. $60$ 倍　　　　B. $60\sqrt{30}$ 倍　　　　C. $120$ 倍　　　　D. $120\sqrt{30}$ 倍

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设半径比 $k$，体积比 $k^3=240\sqrt{30}=(2\sqrt{30}{)}^3$。
2. $k=2\sqrt{30}$。
3. 表面积比 $k^2=120$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

设木星与地球的半径之比为 $k$，则体积之比为 $k^3$，表面积之比为 $k^2$．由题意，$k^3=240\sqrt{30}=(2\sqrt{30}{)}^3$，所以 $k=2\sqrt{30}$，从而表面积之比为 $k^2=(2\sqrt{30}{)}^2=120$，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：球的相似比

核心方法：体积比 $k^3=240\sqrt{30}=(2\sqrt{30}{)}^3$ 解 $k=2\sqrt{30}$

避坑指南：表面积比是 $k^2$ 不是 $k^3$；$k^2=(2\sqrt{30}{)}^2=120$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 2 空间几何体

结论推广：相似比 $k$：体积比 $k^3$、表面积比 $k^2$；$k^3=240\sqrt{30}\Rightarrow k^2=120$

方法推广：“倍数”问题统一走相似比：先由体积比开立方，再平方得表面积比

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1992-全国卷理-05 单-圆柱与球的表面积
• 2020-新课标II文-11 单-点到平面距离
• 2020-新课标I文-12 单-球表面积