2005-浙江卷理-18 解-线面平行的判定定理

本题导读

本题核心考查三棱锥的空间位置关系与度量。第一问利用中位线定理证明线面平行；第二、三问通过建立空间直角坐标系，将线面角和射影重心问题转化为向量的运算与代数求解。

📌【题干】

Question

（2005年浙江卷(理)） 如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中， $AB\perp BC$， $AB=BC=kPA$，点 $O$、 $D$ 分别是 $AC$、 $PC$ 的中点， $OP\perp$ 底面 $ABC$.

(1)求证： $OD\parallel$ 平面 $PAB$；

(2)当 $k=\frac{1}{2}$ 时，求直线 $PA$ 与平面 $PBC$ 所成角的大小；

(3)当 $k$ 取何值时， $O$ 在平面 $PBC$ 内的射影恰好为 $△PBC$ 的重心？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第（1）问：在 $△PAC$ 中， $O,D$ 分别是 $AC,PC$ 的中点，可直接利用三角形中位线定理证得 $OD\parallel PA$，进而得出线面平行。
2. 建系准备：因为 $OP\perp$ 平面 $ABC$，且底面 $△ABC$ 中 $AB\perp BC$， $O$ 为斜边 $AC$ 的中点。设 $AB=BC=a$，则在底面内可以过 $O$ 作两直角边的平行线，配合 $OP$ 轴建立空间直角坐标系。
3. 第（2）问：设定 $k=\frac{1}{2}⟹PA=2a$，利用勾股定理求出 $OP$ 的高。写出各点坐标及平面 $PBC$ 的法向量，用向量夹角公式求解线面角。
4. 第（3）问：设 $O$ 在平面 $PBC$ 内的射影为 $H$。 $OH\perp$ 平面 $PBC⟹\overrightarrow{OH}$ 与平面 $PBC$ 的法向量平行。同时 $H$ 为 $△PBC$ 的重心 $⟹H$ 的坐标等于 $P,B,C$ 三点坐标的算术平均值。联立两条件解出 $k$。

✅【答案】

Success

（1）OD∥平面PAB；（2）若θ为所成角，则sinθ= \frac{\sqrt{210}}{30}；（3）k=1.

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明：求证 $OD\parallel$ 平面 $PAB$

在 $△PAC$ 中， because 点 $O$、 $D$ 分别是 $AC$、 $PC$ 的中点， 故 $OD$ 是 $△PAC$ 的中位线， 所以 $OD\parallel PA$。

又 because $PA\subset$ 平面 $PAB$，且 $OD\not\subset$ 平面 $PAB$， 故 $OD\parallel$ 平面 $PAB$。

空间直角坐标系的建立

设 $AB=BC=a$。以 $B$ 为原点， $BC$ 所在直线为 $x$ 轴， $AB$ 所在直线为 $y$ 轴，过 $B$ 作底面的垂线为 $z$ 轴。 则底面各点坐标为： $B(0,0,0)$, $C(a,0,0)$, $A(0,a,0)$。

because $O$ 是 $AC$ 的中点，由中点坐标公式得： $O\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2},0\right)$。 设 $P$ 点的纵坐标为 $h$ ($h>0$)， because $OP\perp$ 平面 $ABC$，所以 $P\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2},h\right)$。

在 Rt$△POA$ 中， $OA=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{2}}{2}a$， 则 $P{A}^2=O{A}^2+O{P}^2=\frac{1}{2}{a}^2+h^2$。

（2）解：当 $k=\frac{1}{2}$ 时，求直线 $PA$ 与平面 $PBC$ 所成角的大小

当 $k=\frac{1}{2}$ 时， $AB=\frac{1}{2}PA⟹PA=2a$。 代入关系式： $(2a{)}^2=\frac{1}{2}{a}^2+h^2⟹h^2=\frac{7}{2}{a}^2⟹h=\frac{\sqrt{14}}{2}a$。

此时各关键点坐标为： $A(0,a,0)$, $P\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2},\frac{\sqrt{14}}{2}a\right)$, $C(a,0,0)$, $B(0,0,0)$。 $\overrightarrow{PA}=\left(-\frac{a}{2},\frac{a}{2},-\frac{\sqrt{14}}{2}a\right)$

设平面 $PBC$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$。 because $\overrightarrow{BC}=(a,0,0)$， $\overrightarrow{BP}=\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2},\frac{\sqrt{14}}{2}a\right)$，

依据 $\vec{n}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ 且 $\vec{n}\cdot \overrightarrow{BP}=0$ 得： $\{\begin{array}{l}ax=0\\ \frac{a}{2}x+\frac{a}{2}y+\frac{\sqrt{14}}{2}az=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=0\\ y=-\sqrt{14}z\end{array}$

取 $z=-1$，得 $\vec{n}=(0,\sqrt{14},-1)$。

设直线 $PA$ 与平面 $PBC$ 所成的角为 $\theta$，则： $\sin \theta =|\cos ⟨\overrightarrow{PA},\vec{n}⟩|=\frac{|\overrightarrow{PA}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{PA}|\cdot |\vec{n}|}$ $\text{其中 }|\overrightarrow{PA}|=2a,|\vec{n}|=\sqrt{0^2+(\sqrt{14}{)}^2+(-1{)}^2}=\sqrt{15}$ $|\overrightarrow{PA}\cdot \vec{n}|=\left|-\frac{a}{2}\cdot 0+\frac{a}{2}\cdot \sqrt{14}+\left(-\frac{\sqrt{14}}{2}a\right)\cdot (-1)\right|=\sqrt{14}a$ $\sin \theta =\frac{\sqrt{14}a}{2a\cdot \sqrt{15}}=\frac{\sqrt{210}}{30}$

故直线 $PA$ 与平面 $PBC$ 所成角的大小为 $\arcsin \frac{\sqrt{210}}{30}$。

（3）解：当 $k$ 取何值时， $O$ 在平面 $PBC$ 内的射影恰好为 $△PBC$ 的重心？

设 $△PBC$ 的重心为 $G$。根据重心坐标公式： $x_G=\frac{x_P+x_B+x_C}{3}=\frac{\frac{a}{2}+0+a}{3}=\frac{a}{2}$ $y_G=\frac{y_P+y_B+y_C}{3}=\frac{\frac{a}{2}+0+0}{3}=\frac{a}{6}$ $z_G=\frac{z_P+z_B+z_C}{3}=\frac{h+0+0}{3}=\frac{h}{3}$

故重心坐标为 $G\left(\frac{a}{2},\frac{a}{6},\frac{h}{3}\right)$。

若 $O$ 在平面 $PBC$ 内的射影恰好为 $G$，则必有 $OG\perp$ 平面 $PBC$。 计算向量 $\overrightarrow{OG}$： $\overrightarrow{OG}=\left(\frac{a}{2}-\frac{a}{2},\frac{a}{6}-\frac{a}{2},\frac{h}{3}-0\right)=\left(0,-\frac{a}{3},\frac{h}{3}\right)$

因为 $\overrightarrow{OG}\perp$ 平面 $PBC$，且 $\overrightarrow{BC}=(a,0,0)$，显然 $\overrightarrow{OG}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ 恒成立。 还需要满足 $\overrightarrow{OG}\cdot \overrightarrow{BP}=0$： $\left(0,-\frac{a}{3},\frac{h}{3}\right)\cdot \left(\frac{a}{2},\frac{a}{2},h\right)=0⟹0-\frac{a^2}{6}+\frac{h^2}{3}=0⟹h^2=\frac{1}{2}{a}^2$

将 $h^2=\frac{1}{2}{a}^2$ 代入前面的 $P{A}^2$ 表达式中： $P{A}^2=\frac{1}{2}{a}^2+\frac{1}{2}{a}^2=a^2⟹PA=a$

依据已知条件 $AB=k\cdot PA⟹a=k\cdot a$， 因为 $a>0$，故解得： $k=1$

故当 $k=1$ 时， $O$ 在平面 $PBC$ 内的射影恰好为 $△PBC$ 的重心。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面平行的性质转换、空间直角坐标系的建立、平面法向量求解、空间三角形重心坐标系表达。
2. 核心方法：全坐标建系代数化分析法。
3. 避坑指南：在第三问中，很多同学容易被“射影为重心”的复杂几何描述所迷惑。通过空间坐标系，将“射影”转化为向量垂直关系，将“重心”转化为三点坐标平均值，可以大幅降低思维难度，避免纯几何法作图寻找交点的繁琐过程。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将向量条件改为模长或夹角已知，用数量积坐标运算反求参数，体会向量代数的通性通法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)