2005-浙江卷理-17 解-椭圆的标准方程与准线性质

本题导读

本题核心考查椭圆标准方程的求解以及利用三角函数与不等式解决“视角最大”的几何最值问题（米勒问题）。

📌【题干】

Question

（2005年浙江卷(理)） 如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点 $F_1,F_2$ 在 $x$ 轴上，长轴 $A_1{A}_2$ 的长为 4，左准线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $M$， $|M{A}_1|:|A_1{F}_1|=2:1$.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线 $l_1:x=m$ ($|m|>1$)， $P$ 为 $l_1$ 上的动点，使 $\angle F_{1}P{F}_2$ 最大的点 $P$ 记为 $Q$，求点 $Q$ 的坐标.（用 $m$ 表示）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第（1）问：由长轴长求出 $a=2$。写出左顶点 $A_1$、左焦点 $F_1$ 及左准线交点 $M$ 含有参数 $c$ 的坐标，根据给定的比例关系列出关于 $c$ 的方程，解出 $c$ 后即可确定椭圆方程。
2. 第（2）问：设动点 $P(m,y)$，利用直线 $P{F}_1$ 与 $P{F}_2$ 的斜率结合两角差的正切公式，将 $\tan \angle F_{1}P{F}_2$ 表示为关于 $y$ 的分式函数。利用已知条件 $|m|>1$ 展开绝对值，结合基本不等式求出正切值达到最大时 $y$ 的值。

✅【答案】

Success

（1）椭圆方程为x²/4+y²/3=1.

✍【详细解析】

Abstract

（1）解：求椭圆的方程

设椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$)，焦距为 $2c$。 由题意知，长轴长 $2a=4⟹a=2$。

各关键点坐标为：左顶点 $A_1(-2,0)$，左焦点 $F_1(-c,0)$，左准线与 $x$ 轴的交点 $M\left(-\frac{a^2}{c},0\right)=\left(-\frac{4}{c},0\right)$。

依据线段长度的可加性： $|M{A}_1|=-2-\left(-\frac{4}{c}\right)=\frac{4}{c}-2$ $|A_1{F}_1|=-c-(-2)=2-c$

因为 $|M{A}_1|:|A_1{F}_1|=2:1$，代入得： $\frac{4}{c}-2=2(2-c)⟹\frac{4}{c}-2=4-2c$

两边同乘以 $c$ 并移项整理得： $2c^2-6c+4=0⟹c^2-3c+2=0$ 解得 $c=1$ 或 $c=2$。 因为 $c<a=2$，故 $c=2$ 舍去，只取 $c=1$。

从而 $b^2=a^2-c^2=4-1=3$。

故椭圆的方程为： $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。

（2）解：求点 $Q$ 的坐标

由（1）知 $c=1$，故焦点坐标为 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$。 设直线 $l_1$ 上的动点 $P$ 坐标为 $(m,y)$，其中 $y\in \mathbf{R}$。

直线 $P{F}_1,P{F}_2$ 的斜率分别为： $k_{P{F}_1}=\frac{y}{m+1},k_{P{F}_2}=\frac{y}{m-1}$

设视角 $\angle F_{1}P{F}_2=\theta$ ($\theta$ 为锐角)，由两角差的正切公式得： $\tan \theta =\left|\frac{k_{P{F}_2}-k_{P{F}_1}}{1+k_{P{F}_1}{k}_{P{F}_2}}\right|=\left|\frac{\frac{y}{m-1}-\frac{y}{m+1}}{1+\frac{y^2}{m^2-1}}\right|=\left|\frac{\frac{2y}{m^2-1}}{\frac{m^2-1+y^2}{m^2-1}}\right|=\frac{2|y|}{|m^2-1+y^2|}$

因为已知 $|m|>1⟹m^2-1>0$，所以 $m^2-1+y^2>0$，可直接去掉分母的绝对值符号： $\tan \theta =\frac{2|y|}{m^2-1+y^2}$

当 $y=0$ 时， $\tan \theta =0$ 显然不是最大值。当 $y\ne 0$ 时，分子分母同除以 $|y|$ 得： $\tan \theta =\frac{2}{\frac{m^2-1}{|y|}+|y|}$

由基本不等式知： $\frac{m^2-1}{|y|}+|y|\ge 2\sqrt{\frac{m^2-1}{|y|}\cdot |y|}=2\sqrt{m^2-1}$

当且仅当 $\frac{m^2-1}{|y|}=|y|⟹y^2=m^2-1⟹y=\pm \sqrt{m^2-1}$ 时等号成立。 此时分母取得最小值， $\tan \theta$ 取得最大值。由于 $\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 且正切函数在锐角区间单调递增，此时视角 $\theta$ 最大。

故使 $\angle F_{1}P{F}_2$ 最大的点 $Q$ 的坐标为： $(m,\sqrt{m^2-1})\text{或}(m,-\sqrt{m^2-1})$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：准线交点横坐标通式（$-\frac{a^2}{c}$）、斜率表达视角正切值、均值不等式求最值结构。
2. 核心方法：斜率差角代数化方法。
3. 避坑指南：一是在第（1）问求出 $c$ 后，务必结合 $c<a$ 的几何界限对多余的根进行剔除；二是在第（2）问中，去掉分母绝对值时，必须明确指出“因为 $|m|>1⟹m^2-1>0$”，这是能直接应用均值不等式的前提支撑。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：改变椭圆的焦点位置或离心率条件，重新求解标准方程，并讨论直线与椭圆联立的弦长、中点问题。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)