2005-浙江卷理-16 解-函数图象的对称变换

本题导读

本题主要考查函数解析式的图象变换求解以及含绝对值不等式的分段求解。第一问通过关于原点对称的坐标变换关系求出新函数解析式；第二问利用零点分段法去掉绝对值符号，将不等式转化为两个一元二次不等式组进行求解并取并集。

📌【题干】

Question

（2005年浙江卷(理)） 已知函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的图象关于原点对称，且 $f(x)=x^2+2x$.

(1)求函数 $g(x)$ 的解析式；

(2)解不等式 $g(x)\ge f(x)-|x-1|$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第（1）问：若函数 $y=g(x)$ 与 $y=f(x)$ 的图象关于原点对称，则曲线上任意一点 $(x,y)$ 变换到另一个曲线上对应的点为 $(-x,-y)$。由此可得关系式 $-y=f(-x)⟹y=-f(-x)$，将 $f(x)$ 的解析式代入即可。
2. 第（2）问：将 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的解析式代入不等式，移项化简得到 $-2x^2-2x\ge -|x-1|$，即 $2x^2+2x\le |x-1|$。根据绝对值内部的零点 $x=1$ 进行分类讨论：分为 $x\ge 1$ 和 $x<1$ 两部分，分别脱去绝对值后求解二次不等式，最后求并集。

✅【答案】

Success

原不等式的解集为 $\left\{x|-1\le x\le \frac{1}{2}\right\}$ （或用区间表示为 $\left[-1,\frac{1}{2}\right]$）

✍【详细解析】

Abstract

（1）解：求函数 $g(x)$ 的解析式

because 函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的图象关于原点对称， 设 $(x,y)$ 为函数 $y=g(x)$ 图象上的任意一点，则其关于原点的对称点 $(-x,-y)$ 必在函数 $y=f(x)$ 的图象上。

代入 $f(x)$ 的解析式得： $-y=(-x{)}^2+2(-x)$ $-y=x^2-2x$ $y=-x^2+2x$

故函数 $g(x)$ 的解析式为： $g(x)=-x^2+2x$。

（2）解：解不等式 $g(x)\ge f(x)-|x-1|$

将 $f(x)=x^2+2x$ 和 $g(x)=-x^2+2x$ 代入不等式得： $-x^2+2x\ge x^2+2x-|x-1|$

移项整理得： $2x^2\le |x-1|$

下面以 $x=1$ 为分界点，利用零点分段法对不等式进行分类讨论：

① 当 $x\ge 1$ 时， $|x-1|=x-1$，原不等式化为： $2x^2\le x-1⟹2x^2-x+1\le 0$ 对应的判别式 $\Delta =(-1{)}^2-4\times 2\times 1=-7<0$。 because 二次项系数 $2>0$ 且 $\Delta <0$，所以抛物线 $y=2x^2-x+1$ 恒位于 $x$ 轴上方，即 $2x^2-x+1>0$ 恒成立。 故此时不等式无解。

② 当 $x<1$ 时， $|x-1|=-(x-1)=1-x$，原不等式化为： $2x^2\le 1-x⟹2x^2+x-1\le 0$

对二次多项式进行因式分解： $(2x-1)(x+1)\le 0$ 解得： $-1\le x\le \frac{1}{2}$

结合前提条件 $x<1$，取交集仍为： $-1\le x\le \frac{1}{2}$。

综上所述，原不等式的解集为 $\left\{x|-1\le x\le \frac{1}{2}\right\}$ （或用区间表示为 $\left[-1,\frac{1}{2}\right]$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：图象关于原点对称的解析式转化规律（ $g(x)=-f(-x)$）、含绝对值不等式的分段去绝对值处理。
2. 核心方法：零点分段讨论法。
3. 避坑指南：一是在第（1）问求关于原点对称的解析式时，极易混淆符号，牢记需要将 $x$ 和 $y$ 同时取负号；二是在第（2）问分类讨论后，求出的各段解集必须与该段的前提限制条件取交集，最后把两段的有效解集求并集。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：改变元素的限制条件（相邻、不相邻、定序、分组），体会分类讨论与分步计数的配合。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)