2005-浙江卷理-15 解-三角函数的辅助角公式

本题导读

本题主要考查三角恒等变换的基本公式与特殊角求值。第一问直接通过降幂和倍角公式将函数化简为 $A\sin (\omega x+\phi )+B$ 的形式，再利用周期性代入求值；第二问建立关于未知角 $\alpha$ 的三角方程，结合区间范围确定其余弦值，进而求解正弦值。

📌【题干】

Question

（2005年浙江卷(理)） 已知函数 $f(x)=-\sqrt{3}{\sin }^{2}x+\sin x\cos x$.

(1)求 $f\left(\frac{25\pi }{6}\right)$ 的值；

(2)设 $\alpha \in (0,\pi )$， $f\left(\frac{\alpha }{2}\right)=\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}$，求 $\sin \alpha$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 函数式化简：利用降幂公式 ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ 与二倍角公式 $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$ 统一自变量为 $2x$。然后使用辅助角公式进行逆向化简。
2. 第（1）问：将 $x=\frac{25\pi }{6}$ 代入化简后的解析式中，利用终边相同角的诱导公式化为特殊角求值。
3. 第（2）问：将 $x=\frac{\alpha }{2}$ 代入解析式，结合已知函数值解出 $\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{3}\right)$。通过 $\alpha$ 的取值范围确定 $\alpha -\frac{\pi }{3}$ 的边界，从而求出 $\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{3}\right)$，最终利用两角和的正弦公式求出 $\sin \alpha$。

✅【答案】

Success

$（1）f(25\pi 6)=0.（2）sin\alpha =1+3\surd 58$

✍【详细解析】

Abstract

首先化简函数 $f(x)$ 的解析式： $f(x)=-\sqrt{3}\cdot \frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{1}{2}\sin 2x$ $f(x)=\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 利用辅助角公式化简得： $f(x)=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}$

（1）解：求 $f\left(\frac{25\pi }{6}\right)$ 的值

将 $x=\frac{25\pi }{6}$ 代入化简后的解析式中： $f\left(\frac{25\pi }{6}\right)=\sin \left(2\times \frac{25\pi }{6}+\frac{\pi }{3}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}$ $f\left(\frac{25\pi }{6}\right)=\sin \left(\frac{25\pi }{3}+\frac{\pi }{3}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin \left(\frac{26\pi }{3}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 因为 $\frac{26\pi }{3}=8\pi +\frac{2\pi }{3}$，由诱导公式得： $\sin \left(\frac{26\pi }{3}\right)=\sin \left(8\pi +\frac{2\pi }{3}\right)=\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 所以： $f\left(\frac{25\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=0$

（2）解：设 $\alpha \in (0,\pi )$，求 $\sin \alpha$ 的值

将 $x=\frac{\alpha }{2}$ 代入解析式得： $f\left(\frac{\alpha }{2}\right)=\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 已知 $f\left(\frac{\alpha }{2}\right)=\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入方程得： $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}⟹\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{4}$

因为 $\alpha \in (0,\pi )$，所以 $\alpha +\frac{\pi }{3}\in \left(\frac{\pi }{3},\frac{4\pi }{3}\right)$。 在该区间内，由于 $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{4}<\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin \frac{\pi }{3}$ 且为正数， 可知对应的角只能落在第二象限，即 $\alpha +\frac{\pi }{3}\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$。 因此，余弦值为负： $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=-\sqrt{1-{\sin }^2\left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)}=-\sqrt{1-{\left(\frac{1}{4}\right)}^2}=-\frac{\sqrt{15}}{4}$

利用两角差的正弦公式求 $\sin \alpha$： $\sin \alpha =\sin \left[\left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)-\frac{\pi }{3}\right]$ $\sin \alpha =\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)\cos \frac{\pi }{3}-\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)\sin \frac{\pi }{3}$ 代入已知数值计算： $\sin \alpha =\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}-\left(-\frac{\sqrt{15}}{4}\right)\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{8}+\frac{3\sqrt{5}}{8}=\frac{1+3\sqrt{5}}{8}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：降幂公式、辅助角公式应用、利用同角三角函数关系确定符号。
2. 核心方法：整体角配凑法（如将 $\alpha$ 写成 $\left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)-\frac{\pi }{3}$）。
3. 避坑指南：在第（2）问中，由 $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{4}$ 求 $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)$ 时，极易忽视角 $\alpha +\frac{\pi }{3}$ 所在区间对应的余弦符号。必须通过 $\frac{1}{4}<\frac{\sqrt{3}}{2}$ 精确判定其为钝角，从而确定余弦值为负，否则会导致答案符号错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将角或系数推广，用辅助角公式与诱导公式化简后求周期、值域与最值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)