2005-浙江卷理-13 填-双曲线的标准方程与几何性质

本题导读

本题核心考查双曲线的几何性质及离心率的计算。利用圆的直径对应的圆周角为直角，将几何条件转化为顶点与通径端点的垂直关系，进而构造关于参数 $a,c$ 的齐次方程求解。

📌【题干】

Question

（2005年浙江卷(理)） 过双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$) 的左焦点且垂直于 $x$ 轴的直线与双曲线相交于 $M$、 $N$ 两点，以 $MN$ 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定 $M,N$ 的坐标：过焦点的通径长度为 $\frac{2b^2}{a}$。左焦点为 $F_1(-c,0)$，由此可得 $M,N$ 的坐标。
2. 利用直径的几何特征：以 $MN$ 为直径的圆过右顶点 $A(a,0)$，根据圆的性质，有 $\angle MAN=90^{\circ }$。由于对称性， $△MAN$ 是以 $A$ 为直角顶点的等腰直角三角形，这意味着 $△MA{F}_1$ 为等腰直角三角形。
3. 建立代数方程：由 $M{F}_1=A{F}_1$ 建立关于 $a,b,c$ 的方程，结合 $b^2=c^2-a^2$ 转化为关于 $a,c$ 的齐次方程，除以 $a^2$ 构造关于离心率 $e$ 的一元二次方程求解。

✅【答案】

Success

$2$

✍【详细解析】

Abstract

解： 由双曲线方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$) 知，其左焦点为 $F_1(-c,0)$，右顶点为 $A(a,0)$。

过左焦点 $F_1$ 且垂直于 $x$ 轴的直线方程为 $x=-c$。 将 $x=-c$ 代入双曲线方程得： $\frac{(-c{)}^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1⟹\frac{y^2}{b^2}=\frac{c^2}{a^2}-1=\frac{c^2-a^2}{a^2}=\frac{b^2}{a^2}$ $y^2=\frac{b^4}{a^2}⟹y=\pm \frac{b^2}{a}$

故交点 $M,N$ 的坐标分别为 $\left(-c,\frac{b^2}{a}\right)$ 和 $\left(-c,-\frac{b^2}{a}\right)$。

因为以 $MN$ 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点 $A(a,0)$，由圆的几何性质（直径所对的圆周角是直角）可知： $\angle MAN=90^{\circ }$

由双曲线的对称性， $M,N$ 关于 $x$ 轴对称，且 $A(a,0)$ 在 $x$ 轴上， 所以 $A{F}_1$ 是 $\angle MAN$ 的角平分线，且 $A{F}_1\perp MN$。 因此在 Rt$△MA{F}_1$ 中， $\angle MA{F}_1=45^{\circ }$，这说明 $△MA{F}_1$ 是等腰直角三角形。 由此可得几何边长相等关系： $M{F}_1=A{F}_1$

代入对应线段的长度表达： $M{F}_1=\frac{b^2}{a},A{F}_1=a-(-c)=a+c$ 所以： $\frac{b^2}{a}=a+c⟹b^2=a(a+c)=a^2+ac$

又因为在双曲线中， $b^2=c^2-a^2$，代入上式得： $c^2-a^2=a^2+ac⟹c^2-ac-2a^2=0$

两边同除以 $a^2$ 转化为关于离心率 $e=\frac{c}{a}$ 的一元二次方程： ${\left(\frac{c}{a}\right)}^2-\frac{c}{a}-2=0⟹e^2-e-2=0$

对因式进行分解： $(e-2)(e+1)=0$ 因为双曲线的离心率满足 $e>1$， 所以： $e=2$

故答案为： $2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线通径公式（$|MN|=\frac{2b^2}{a}$）、直径所对圆周角为 $90^{\circ }$、离心率齐次方程转化。
2. 核心方法：数形结合与齐次方程化简法。
3. 避坑指南：一是注意右顶点的坐标为 $(a,0)$，计算 $A{F}_1$ 的长为 $a-(-c)=a+c$，不要错记为 $c+c=2c$（左焦点到右焦点的距离）；二是解方程得到 $e=-1$ 时，必须根据双曲线离心率有界性 $e>1$ 坚决舍去。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题源于人教A版选择性必修第一册“圆锥曲线与方程”章节中关于双曲线核心性质的探究习题。 2.结论推广: 对于椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，若同理“过左焦点的通径为直径的圆过右顶点”，则几何关系变为 $\frac{b^2}{a}=a+c⟹a^2-c^2=a^2+ac⟹c^2+ac=0⟹c(c+a)=0$，对椭圆无解。但若改为“过左焦点的通径为直径的圆过左顶点”，则关系式可大范围推广。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)