2005-浙江卷理-12 填-图形折叠与空间几何体

本题导读

本题核心考查立体几何平面图形折叠问题。解题关键是利用折叠前后的不变性与新建立的空间垂直关系，找准二面角的平面角，通过建立空间直角坐标系将异面直线所成角转化为向量夹角求解。

📌【题干】

Question

（2005年浙江卷(理)） 设 $M$、 $N$ 是直角梯形 $ABCD$ 两腰的两中点， $DE\perp AB$ 于 $E$（如图）. 现将 $△ADE$ 沿 $DE$ 折起，使二面角 $A-DE-B$ 为 $45^{\circ }$，此时点 $A$ 在平面 $BCDE$ 内的射影恰为点 $B$，则 $M$、 $N$ 的连线与 $AE$ 所成角的大小等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析折叠前后的量：

• 折叠前， $DE\perp AB⟹DE\perp AE$ 且 $DE\perp EB$。
• 折叠后， $DE\perp AE$ 且 $DE\perp EB$ 依然成立。根据二面角的定义， $\angle AEB$ 便是二面角 $A-DE-B$ 的平面角，即 $\angle AEB=45^{\circ }$。

2. 分析射影垂直条件：

• 点 $A$ 在平面 $BCDE$ 内的射影恰为点 $B⟹AB\perp$ 平面 $BCDE$。
• 进而得到 $AB\perp BE$。在 Rt$△ABE$ 中，由于 $\angle AEB=45^{\circ }$，所以 $△ABE$ 为等腰直角三角形， $AB=BE$。

3. 建立坐标系求解：

• 观察到 $DE,EB$ 互相垂直（矩形），且 $AB\perp$ 平面 $BCDE$，以 $E$ 为原点建立空间直角坐标系。
• 设 $AE=\sqrt{2}a$，则 $AB=BE=a$。写出各个顶点的坐标，求出中点 $M,N$ 的坐标。
• 通过向量 $\overrightarrow{MN}$ 与 $\overrightarrow{AE}$ 的数量积求出夹角。

✅【答案】

Success

$90^{\circ }$（或 $\frac{\pi }{2}$）

✍【详细解析】

Abstract

解： 在原直角梯形 $ABCD$ 中，由 $DE\perp AB$， $N$ 是直角腰 $BC$ 的中点，知四边形 $BCDE$ 为矩形，故 $DE\perp EB$。 折起后，因为 $DE\perp AE$ 且 $DE\perp EB$，所以 $\angle AEB$ 为二面角 $A-DE-B$ 的平面角，即： $\angle AEB=45^{\circ }$

因为点 $A$ 在平面 $BCDE$ 内的射影为点 $B$，所以 $AB\perp$ 平面 $BCDE$。 因为 $BE\subset$ 平面 $BCDE$，所以 $AB\perp BE$。 在 Rt$△ABE$ 中， $\angle ABE=90^{\circ }$， $\angle AEB=45^{\circ }$， 故 $△ABE$ 为等腰直角三角形，满足： $AB=BE$

为了便于计算，设 $AB=BE=DE=a$（矩形 $BCDE$ 的另一边长不影响线线角，可设 $DE=a$）。 则在等腰直角 $△ABE$ 中，斜边 $AE=\sqrt{2}a$。

以 $E$ 为坐标原点，分别以 $\overrightarrow{EB}$、 $\overrightarrow{ED}$、 $\overrightarrow{BA}$ 的平行方向为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴，建立空间直角坐标系 $E-xyz$。 则各关键顶点的坐标为：

• $E(0,0,0)$
• $B(a,0,0)$
• $D(0,a,0)$
• $C(a,a,0)$
• $A(a,0,a)$

根据中点坐标公式，求解 $M$ 和 $N$ 的坐标：

• 折起前 $M$ 是 $AD$ 的中点。折起后， $M$ 仍为 $AD$ 的中点： $M\left(\frac{a+0}{2},\frac{0+a}{2},\frac{a+0}{2}\right)=\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right)$
• $N$ 是 $BC$ 的中点： $N\left(\frac{a+a}{2},\frac{0+a}{2},\frac{0+0}{2}\right)=\left(a,\frac{a}{2},0\right)$

计算所需方向向量的坐标： $\overrightarrow{MN}=\left(a-\frac{a}{2},\frac{a}{2}-\frac{a}{2},0-\frac{a}{2}\right)=\left(\frac{a}{2},0,-\frac{a}{2}\right)$ $\overrightarrow{AE}=(0-a,0-0,0-a)=(-a,0,-a)$

计算两向量的数量积： $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{AE}=\frac{a}{2}\cdot (-a)+0\cdot 0+\left(-\frac{a}{2}\right)\cdot (-a)=-\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}=0$

因为数量积为 0，所以向量 $\overrightarrow{MN}\perp \overrightarrow{AE}$。 根据异面直线所成角的定义， $M$、 $N$ 的连线与 $AE$ 所成角的大小等于 $90^{\circ }$（或 $\frac{\pi }{2}$）。

故答案为： $90^{\circ }$（或 $\frac{\pi }{2}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：翻折问题中线线、线面垂直的转化，二面角平面角的确定，空间建系向量法求异面直线夹角。
2. 核心方法：空间直角坐标系坐标化方法。
3. 避坑指南：一是折叠后“点 $A$ 在平面 $BCDE$ 内的射影恰为点 $B$”这一条件必须翻译成线面垂直 $AB\perp$ 平面 $BCDE$，由此激活隐藏的直角 $\angle ABE=90^{\circ }$；二是在建立坐标系时，确保 $x,y,z$ 三轴两两垂直。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将几何体的边长或位置关系改变，用几何法或建系法重新求解空间角、距离与体积。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)