2005-浙江卷理-05 单-二项式定理

本题导读

本题核心考查二项式展开式中指定项系数的求解。既可以通过分别求出每个多项式中含 $x^3$ 的项进行累加，也可以先利用等比数列求和公式将多项式合并后再统一求解。

📌【题干】

Question

（2005年浙江卷(理)） 在 $(1-x{)}^5+(1-x{)}^6+(1-x{)}^7+(1-x{)}^8$ 的展开式中，含 $x^3$ 的项的系数是 ()

A. 74　　　　　　B. 121　　　　　　C. -74　　　　　　D. -121

🔍【思路分析】

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方法一：逐项提取法

1. 观察每一个二项式 $(1-x{)}^n$ 的通项公式： $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{1}^{n-r}(-x{)}^r=(-1{)}^r{\text{C}}_n^r{x}^r$。
2. 要找含 $x^3$ 的项，即取 $r=3$，此时每项对应的系数为 $-{\text{C}}_n^3$。
3. 分别将 $n=5,6,7,8$ 代入计算组合数，最后将四个系数相加即可。

方法二：等比数列合并法 4. 将原式看作首项为 $(1-x{)}^5$，公比为 $(1-x)$ 的等比数列的前 4 项和。 5. 利用等比数列求和公式将代数式化简，再逆用二项式定理提取 $x^3$ 的系数。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

这里采用更为直观的**方法一（逐项提取法）**进行解析：

根据二项式定理，对于一般项 $(1-x{)}^n$，其展开式的通项公式为： $T_{r+1}={\text{C}}_n^r\cdot 1^{n-r}\cdot (-x{)}^r=(-1{)}^r{\text{C}}_n^r{x}^r$

要求含 $x^3$ 项的系数，必须令 $r=3$。 此时含 $x^3$ 项的系数为： $-{\text{C}}_n^3$

原多项式共有 4 项，分别对应 $n=5,6,7,8$。各部分贡献的 $x^3$ 项系数如下：

• 当 $n=5$ 时，系数为： $-{\text{C}}_5^3=-\frac{5\times 4\times 3}{3\times 2\times 1}=-10$
• 当 $n=6$ 时，系数为： $-{\text{C}}_6^3=-\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=-20$
• 当 $n=7$ 时，系数为： $-{\text{C}}_7^3=-\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}=-35$
• 当 $n=8$ 时，系数为： $-{\text{C}}_8^3=-\frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}=-56$

将所有项的系数进行合并累加： $\text{总系数}=(-10)+(-20)+(-35)+(-56)=-(10+20+35+56)=-121$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式通项中负号的提取（$(-x{)}^r=(-1{)}^r{x}^r$）、组合数计算。
2. 核心方法：分项独立求解法。
3. 避坑指南：极易漏掉 $(-x{)}^3$ 展开后产生的负号，导致计算出 $+121$ 而错选 B。在处理 $(a-b{)}^n$ 形式的展开式时，务必将负号随同底数整体带入通项公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题源于人教A版选择性必修第三册“计数原理”章节中二项式定理通项应用的高频核心基础题。 2.结论推广: 借助组合数两个核心性质（杨辉三角递推式）： ${\text{C}}_n^m+{\text{C}}_n^{m+1}={\text{C}}_{n+1}^{m+1}$，本题的组合数之和可以级联化简： ${\text{C}}_5^3+{\text{C}}_6^3+{\text{C}}_7^3+{\text{C}}_8^3={\text{C}}_9^4-{\text{C}}_5^4=126-5=121$ 前置负号后即为 $-121$。

🔗【关联脉络】

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