2005-江西卷理-21 解-数学归纳法

本题导读

本题是一道融递推数列、不等式证明与函数单调性于一体的综合压轴题。第一问通过构造二次函数并利用其单调性，借助数学归纳法完成不等式的传递证明；第二问则通过配方变形，将非线性递推转化为幂指型结构完成通项公式的求解。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷） 已知数列 $\{a_n\}$ 的各项都是正数，且满足：$a_0=1$，$a_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_n(4-a_n)$，$n\in \mathbf{N}$.

(1)证明：$a_n<a_{n+1}<2$，$n\in \mathbf{N}$；

(2)求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式 $a_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：采用数学归纳法。构造二次函数 $f(x)=\frac{1}{2}x(4-x)$，利用该函数在定义区间 $(0,2)$ 上的单调递增性实现不等式关系的逐项递推。
2. 第二问：观察递推式的二次方特征，对其进行对称配方变换，建立 $2-a_{n+1}$ 与 $2-a_n$ 的平方关系，进而构造新数列简化求解。

✅【答案】

Success

(1) $a_n<a_{n+1}<2$；(2) $a_n=2-2^{1-2^n}$。

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明： 下面用数学归纳法证明 $a_n<a_{n+1}<2$ 且 $a_n>0$。 ① 当 $n=0$ 时，已知 $a_0=1$。 代入递推式得：$a_1=\frac{1}{2}\times 1\times (4-1)=\frac{3}{2}$。 显然有 $0<1<\frac{3}{2}<2$，即 $a_0<a_1<2$ 成立。

② 假设当 $n=k$ ($k\in \mathbf{N}$) 时，不等式 $a_k<a_{k+1}<2$ 成立（且 $a_k>0$）。 考虑二次函数 $f(x)=\frac{1}{2}x(4-x)=2x-\frac{1}{2}{x}^2$。 对 $f(x)$ 求导得：$f^{\prime }(x)=2-x$。 当 $x\in (0,2)$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，故 $f(x)$ 在 $(0,2)$ 上单调递增。 根据归纳假设，有 $0<a_k<a_{k+1}<2$， 利用 $f(x)$ 在该区间上的单调递增性可得：$f(a_k)<f(a_{k+1})<f(2)$。 又因为 $f(a_k)=a_{k+1}$，$f(a_{k+1})=a_{k+2}$，$f(2)=\frac{1}{2}\times 2\times (4-2)=2$， 所以 $a_{k+1}<a_{k+2}<2$。 即当 $n=k+1$ 时，不等式同样成立。

综上所述，对任意 $n\in \mathbf{N}$，均有 $a_n<a_{n+1}<2$。

（2）解： 将已知递推式 $a_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_n(4-a_n)$ 两边被 2 减，变形得： $2-a_{n+1}=2-2a_n+\frac{1}{2}{a}_n^2=\frac{1}{2}(4-4a_n+a_n^2)=\frac{1}{2}(2-a_n{)}^2$ 两边同除以 2，得： $\frac{2-a_{n+1}}{2}={\left(\frac{2-a_n}{2}\right)}^2$ 令 $c_n=\frac{2-a_n}{2}$。由（1）知 $a_n<2$，故 $2-a_n>0$，即 $c_n>0$。 从而得到新数列的递推关系式为：$c_{n+1}=c_n^2$。 由初始条件 $a_0=1$ 可得：$c_0=\frac{2-1}{2}=\frac{1}{2}$。 依此关系连续递推： $c_1=c_0^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2$ $c_2=c_1^2={\left[{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\right]}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^{2^2}$ $\cdots$ $c_n={\left(\frac{1}{2}\right)}^{2^n}$ 因为 $c_n=\frac{2-a_n}{2}$，所以有： $\frac{2-a_n}{2}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{2^n}⟹2-a_n=2\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^{2^n}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{2^n-1}$ 解得数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为： $a_n=2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2^n-1}=2-2^{1-2^n}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：数学归纳法的标准步骤、利用导数判定二次函数在指定区间内的单调性、非线性递推式通过配方转化为平方递推模型。
2. 核心方法：单调性区间映射法、因式配方代换法。
3. 避坑指南：一是第一问在使用单调性完成步进证明时，必须严密交代自变量各项均落在单调区间 $(0,2)$ 内，否则扣分；二是第二问面对 $a_n$ 与 $a_n^2$ 混合的复杂非线性递推式时，切忌盲目尝试取对数或常规作差，应优先观察多项式的系数结构，通过对偶配方将“非线性”转化为可以被逐层迭代消去的“纯幂次”形式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题具有深厚的高等数学常微分方程与动力系统背景，其迭代解析式属于著名的逻辑斯蒂映射（Logistic Map） $x_{n+1}=\mu x_n(1-x_n)$ 在混沌临界区域前的可积特例，高中阶段将其包装为配方构造题型进行考查。 2.结论推广: 对于非线性递推关系 $a_{n+1}=\frac{1}{k}{a}_n(2k-a_n)$ （$k>0$ 且各项小于 $k$），均可通过对偶构造变形为 $k-a_{n+1}=\frac{1}{k}(k-a_n{)}^2$，进而通过定义新数列 $c_n=\frac{k-a_n}{k}$ 转化为 $c_{n+1}=c_n^2$ 的标准标准幂次递推式完成求解。

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