2005-江西卷理-19 解-离散型随机变量的分布列

本题导读

本题以持卡游戏为背景，实际考查随机游走模型的早期终止概率。核心考查离散型随机变量的取值判定、互斥事件概率的凑配计算以及数学期望的求解。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷） $A$、$B$ 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时 $A$ 赢得 $B$ 一张卡片，否则 $B$ 赢得 $A$ 一张卡片.规定掷硬币的次数达 9 次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设 $\xi$ 表示游戏终止时掷硬币的次数.

(1)求 $\xi$ 的取值范围；

(2)求 $\xi$ 的数学期望 $E\xi$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 某人赢得所有卡片意味着其净胜次数达到 5 次或 -5 次。由于初识卡片差为奇数（5），游戏提前终止的步数必为奇数。结合最大次数 9 限制，确定 $\xi$ 的所有可能取值。
2. 分别计算 $\xi =5$ 和 $\xi =7$ 终止时的路径方案数与概率，再利用对立事件求出 $\xi =9$ 的概率，最后通过期望公式求解。

✅【答案】

Success

因此P(ξ= 5) = 2 (\dfrac{1}{2})5= \dfrac{1}{16}

✍【详细解析】

Abstract

（1）开始时每人各有 5 张卡片。某人赢得所有卡片意味着卡片总数达到 10 张，即净胜次数达到 5 次。 因为每次输赢卡片数变化为 1，要达到净胜 $\pm 5$ 次，投掷次数必为奇数。 又因为游戏总次数最多为 9 次，所以 $\xi$ 的可能取值为 $5,7,9$。 故 $\xi$ 的取值范围为 $\{5,7,9\}$。

（2）由于硬币均匀，每次投掷出现正面或反面的概率均为 $\frac{1}{2}$。

① 当 $\xi =5$ 时，表示前 5 次投掷均为正面或均为反面， $P(\xi =5)={\left(\frac{1}{2}\right)}^5+{\left(\frac{1}{2}\right)}^5=\frac{2}{32}=\frac{1}{16}$

② 当 $\xi =7$ 时，游戏在第 7 次终止且有人赢得所有卡片。 以 $A$ 在第 7 次赢得所有卡片为例：第 7 次必须为正面，且前 6 次中必须有 5 次正面、1 次反面，同时排除前 5 次全是正面的情况。 前 6 次中出现 5 次正面的排列数为 $C_6^5=6$ 种，扣除前 5 次全是正面的 1 种（即“正正正正正反”），有效方案数为 $6-1=5$ 种。 同理，$B$ 在第 7 次赢得所有卡片的有效方案数也为 5 种。 $P(\xi =7)=2\times 5\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^7=\frac{10}{128}=\frac{5}{64}$

③ 当 $\xi =9$ 时，由概率和为 1 的性质可得： $P(\xi =9)=1-P(\xi =5)-P(\xi =7)=1-\frac{4}{64}-\frac{5}{64}=\frac{55}{64}$

随机变量 $\xi$ 的分布列为：

$\xi$	5	7	9
$P$	$\frac{4}{64}$	$\frac{5}{64}$	$\frac{55}{64}$

因此，$\xi$ 的数学期望为： $E\xi =5\times \frac{4}{64}+7\times \frac{5}{64}+9\times \frac{55}{64}=\frac{20+35+495}{64}=\frac{550}{64}=\frac{275}{32}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：离散型随机变量的分步列性质、互斥与独立试验的概率凑配、期望公式。
2. 核心方法：正向路径穷举法、对立事件作差法。
3. 避坑指南：一是容易忽略 $\xi =7$ 时需要“扣除前 5 次已经提前结束”的无效路径，导致分子错计为 6；二是应优先利用全概率之和为 1 的性质去求最后一个状态 $\xi =9$ 的概率，避免直接计算 9 次不终止的路径导致极其复杂的分类。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题原型为经典概率论中的“赌徒输光问题”（Gambler’s Ruin Problem）在有限步数下的截断简化版，属于考查概率递推与计数原理的基础综合题。 2.结论推广: 设资产分别为 $a,b$ 的两个人在公平博弈中每次输赢 1 个单位，则在一共投掷 $n$ 步（$n<a+b$）的情况下，若 $n$ 小于终止所需的最小步数，游戏绝不可能提前终止。在本题中，由于 $a=5,b=5$，最小终止步数为 $5$，且终止步数与 $a+b$ 具有相同的奇偶性性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)