2005-江西卷理-17 解-待定系数法求函数解析式

本题导读

本题核心考查利用一元二次方程根与系数的关系求函数解析式，以及含有参数的分式不等式的分类讨论解法。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷） 已知函数 $f(x)=\frac{x^2}{ax+b}$ ($a,b$ 为常数)，且方程 $f(x)-x+12=0$ 有两个实根为 $x_1=3,x_2=4$.

(1)求函数 $f(x)$ 的解析式；

(2)设 $k>1$，解关于 $x$ 的不等式：$f(x)<\frac{(k+1)x-k}{2-x}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将已知根代入方程或利用韦达定理建立关于 $a,b$ 的方程组，解出参数求得解析式。
2. 将解析式代入不等式，移项通分化为标准分式不等式，对参数 $k$ 与临界点 $2$ 的大小关系进行分类讨论求解。

✅【答案】

Success

当 $1<k<2$ 时，不等式的解集为 $\{x|1<x<k\text{ 或 }x>2\}$；当 $k=2$ 时，不等式的解集为 $\{x|1<x<2\text{ 或 }x>2\}$；当 $k>2$ 时，不等式的解集为 ${x | 1

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $f(x)-x+12=0$ 得 $\frac{x^2}{ax+b}-x+12=0$， 化简整式方程得：$(1-a)x^2+(12a-b)x+12b=0$。 因为方程的两根为 $3$ 和 $4$， 由韦达定理得： $\{\begin{array}{l}3+4=\frac{b-12a}{1-a}\\ 3\times 4=\frac{12b}{1-a}\end{array}⟹\{\begin{array}{l}5a-b+7=0\\ a+b=1\end{array}$ 解得：$\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=2\end{array}$。 经检验，当 $a=-1,b=2$ 时，分母 $ax+b\ne 0$，符合题意。 故函数 $f(x)$ 的解析式为：$f(x)=\frac{x^2}{2-x}$。

（2）将 $f(x)$ 代入不等式得：$\frac{x^2}{2-x}<\frac{(k+1)x-k}{2-x}$， 移项通分得：$\frac{x^2-(k+1)x+k}{2-x}<0$， 因式分解分子得：$\frac{(x-1)(x-k)}{2-x}<0$， 等价于分式不等式：$\frac{(x-1)(x-k)}{x-2}>0$。 因为 $k>1$，对应方程的三个根分别为 $1,2,k$，现对 $k$ 的范围进行分类讨论：

① 当 $1<k<2$ 时，各根大小顺序为 $1<k<2$， 由穿根法解得不等式的解集为：$\{x|1<x<k\text{ 或 }x>2\}$；

② 当 $k=2$ 时，不等式化为 $\frac{(x-1)(x-2)}{x-2}>0$， 即 $x-1>0$ 且 $x\ne 2$，解得不等式的解集为：$\{x|1<x<2\text{ 或 }x>2\}$；

③ 当 $k>2$ 时，各根大小顺序为 $1<2<k$， 由穿根法解得不等式的解集为：$\{x|1<x<2\text{ 或 }x>k\}$。

综上所述： 当 $1<k<2$ 时，不等式的解集为 $\{x|1<x<k\text{ 或 }x>2\}$； 当 $k=2$ 时，不等式的解集为 $\{x|1<x<2\text{ 或 }x>2\}$； 当 $k>2$ 时，不等式的解集为 $\{x|1<x<2\text{ 或 }x>k\}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：待定系数法求函数解析式、分式不等式向高次不等式的转化、分类讨论思想。
2. 核心方法：韦达定理法、轴上穿根法。
3. 避坑指南：一是在第一问化整式对方程时，需默认分母不为零，求出结果后应做相应检验；二是在第二问移项时，切记不可直接两边乘以 $(2-x)$，因为其正负号未知，必须移项通分保持分母结构；三是分类讨论时不能遗漏 $k=2$ 的临界相等情况。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题由人教A版选择性必修第一册“一元二次方程根与系数的关系”与必修第一册“一元二次不等式及其解法”的含参拓展问题复合而成。 2.结论推广: 对于不等式 $\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{x-x_3}>0$（其中 $x_1<x_2$），其解集区间结构完全由分母根 $x_3$ 与分子根 $x_1,x_2$ 的相对大小顺序决定。当 $x_3$ 落在两根之间、两根之外或与两根之一重合时，解集形式发生根本性改变。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)