2005-江西卷理-16 填-双曲线与椭圆的定义

本题导读

本题是一道关于圆锥曲线多结论辨析的综合填空题，核心考查圆锥曲线的定义、轨迹判定、离心率范围以及焦点坐标的计算，要求概念理解精准、基础计算扎实。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷） 以下同关于圆锥曲线的命题中： ① 设 $A$、$B$ 为两个定点，$k$ 为非零常数，$|\overrightarrow{PA}|-|\overrightarrow{PB}|=k$，则动点 $P$ 的轨迹为双曲线； ② 设定圆 $C$ 上一定点 $A$ 作圆的动点弦 $AB$，$O$ 为坐标原点，若 $\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$，则动点 $P$ 的轨迹为椭圆； ③ 方程 $2x^2-5x+2=0$ 的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率； ④ 双曲线 $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1$ 与椭圆 $\frac{x^2}{35}+y^2=1$ 有相同的焦点. 其中真命题的序号为$\underline{}$.（写出所有真命题的序号）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 命题 ①：利用双曲线的定义，检查距离之差是否带有绝对值符号。
2. 命题 ②：将向量等式转化为点 $P$ 与点 $B$ 的相对位置关系，利用位似图形的性质判定轨迹。
3. 命题 ③：解一元二次方程，对照椭圆与双曲线离心率的取值范围进行匹配。
4. 命题 ④：分别计算双曲线和椭圆的半焦距 $c$，确定其焦点坐标并进行比对。

✅【答案】

Success

$\text{(3)}\text{(4)}$

✍【详细解析】

Abstract

对 ①：根据双曲线的定义，平面内到两定点的距离之差的绝对值为非零常数（小于两定点间距离）的点的轨迹才是双曲线。本题中没有绝对值符号，当 $0<k<|AB|$ 时，轨迹仅为双曲线的一支；当 $k$ 不在此范围时轨迹可能为射线或不存在，故 ① 错误。

对 ②：由 $\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$ 移项变形得 $\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})$，即 $\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$。这说明点 $P$ 是弦 $AB$ 的中点，即点 $P$ 是以点 $A$ 为位似中心、$\frac{1}{2}$ 为位似比，将动点 $B$ 所在的定圆 $C$ 进行位似变换后得到的图形。定圆经位似变换后仍为圆，故动点 $P$ 的轨迹为圆，故 ② 错误。

对 ③：解方程 $2x^2-5x+2=0$，因式分解得 $(2x-1)(x-2)=0$，解得两根为 $x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=2$。因为椭圆的离心率 $e\in (0,1)$，双曲线的离心率 $e\in (1,+\infty )$，而 $\frac{1}{2}\in (0,1)$ 且 $2\in (1,+\infty )$，所以这两根可以分别作为椭圆和双曲线的离心率，故 ③ 正确。

对 ④：对于双曲线 $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1$，焦点在 $x$ 轴上，且 $c^2=a^2+b^2=25+9=34$，则焦点坐标为 $(\pm \sqrt{34},0)$；对于椭圆 $\frac{x^2}{35}+y^2=1$，焦点在 $x$ 轴上，且 $c^2=a^2-b^2=35-1=34$，则焦点坐标为 $(\pm \sqrt{34},0)$。两曲线焦点完全相同，故 ④ 正确。

综上所述，真命题的序号为 ③④。

答案为：③④

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线的第一定义、位似图形轨迹变换、圆锥曲线离心率的范围（椭圆 $0<e<1$，双曲线 $e>1$）、焦点坐标公式（椭圆 $c^2=a^2-b^2$，双曲线 $c^2=a^2+b^2$）。
2. 核心方法：定义法辨析、位似几何分析法。
3. 避坑指南：一是在命题 ① 中容易漏掉双曲线定义中“绝对值”这一核心限制，误将“双曲线的一支”等同于“双曲线”；二是在命题 ④ 中计算椭圆和双曲线的 $c^2$ 时，容易混淆加减号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题是典型的将解析几何多项基础工具性知识（定义、性质、方程）融为一体的综合概念辨析题，素材均源自人教A版选择性必修第一册“圆锥曲线与方程”的课后基础复习题。 2.结论推广: （1）若 $|PA|-|PB|=2a$（$0<2a<|AB|$），则 $P$ 的轨迹为双曲线靠近 $B$ 点的右支。 （2）定圆上固定一点与动点连线中点的轨迹，必然是以该固定点为位似中心、半径缩小为原来一半的同类圆。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.01 椭圆专题全总结

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