2005-江西卷理-15 填-空间几何体的

本题导读

本题核心考查多面体表面两点间的最短路径问题（即“蚂蚁爬行问题”）。解决此类问题的关键是将空间几何体沿相关棱展开为平面图形，将空间最值转化为平面几何中的两点距离计算，并通过分类讨论确定最终的最短路径。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷） 如图，在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$AB=BC=\sqrt{2}$，$B{B}_1=2$，$\angle ABC=90^{\circ }$，$E$、$F$ 分别为 $A{A}_1$、$C_1{B}_1$ 的中点，沿棱柱的表面从 $E$ 到 $F$ 两点的最短路径的长度为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析点 $E$ 和点 $F$ 所在的表面位置，确定可能跨越的棱及展开路径。
2. 分三种情况讨论展开图：①经棱 $A_1{B}_1$ 展开；②经棱 $B{B}_1$ 展开；③经棱 $A_1{C}_1$ 展开。
3. 利用平面直角坐标系或勾股定理分别计算出各路径长度，比对得出最小值。

✅【答案】

Success

$\frac{3\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，底面 $△ABC$ 为等腰直角三角形，$\angle ABC=90^{\circ }$，$AB=BC=\sqrt{2}$， 则斜边 $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=2$。 又侧棱 $B{B}_1=2$，所以 $A{A}_1=C{C}_1=2$。 因为 $E,F$ 分别为 $A{A}_1,C_1{B}_1$ 的中点，所以 $AE=E{A}_1=1$，$B_{1}F=F{C}_1=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 将三棱柱的表面进行展开，可能的路径有以下三种情况：

情况 ①：经过棱 $A_1{B}_1$ 展开（侧面 $AB{B}_1{A}_1$ 与上底面 $A_1{B}_1{C}_1$ 共面） 以 $A_1$ 为原点建立平面直角坐标系，则 $A_1(0,0)$，$B_1(\sqrt{2},0)$，$E(0,-1)$。 在上底面 $△A_1{B}_1{C}_1$ 中，$\angle A_1{B}_1{C}_1=90^{\circ }$，展开后 $B_1{C}_1\perp A_1{B}_1$，故 $C_1(\sqrt{2},\sqrt{2})$。 因为 $F$ 为 $B_1{C}_1$ 的中点，所以 $F\left(\sqrt{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$。 此时路径长度的平方为： $E{F}^2=(\sqrt{2}-0{)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-(-1)\right)}^2=2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)}^2=\frac{7}{2}+\sqrt{2}\approx 4.914$

情况 ②：经过棱 $B{B}_1$ 展开（侧面 $AB{B}_1{A}_1$ 与侧面 $BC{C}_1{B}_1$ 共面） 将两个侧面平铺展开，从 $E$ 到 $F$ 的水平距离为 $AB+B_{1}F=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$， 垂直距离为 $A_{1}E=1$。 此时路径长度的平方为： $E{F}^2={\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)}^2+1^2=\frac{9}{2}+1=5.5$

情况 ③：经过棱 $A_1{C}_1$ 展开（侧面 $AC{C}_1{A}_1$ 与上底面 $A_1{B}_1{C}_1$ 共面） 以 $A_1$ 为原点，$A_1{C}_1$ 所在直线为 $x$ 轴建立平面直角坐标系，则 $A_1(0,0)$，$C_1(2,0)$，$E(0,-1)$。 在上底面等腰直角 $△A_1{B}_1{C}_1$ 中，斜边 $A_1{C}_1=2$，可求得顶点 $B_1$ 的坐标为 $(1,1)$。 因为 $F$ 是 $B_1{C}_1$ 的中点，由中点坐标公式得 $F\left(\frac{1+2}{2},\frac{1+0}{2}\right)=\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)$。 线段 $EF$ 连线与 $A_1{C}_1$ 的交点为 $(1,0)$，未越界，此时路径长度的平方为： $E{F}^2={\left(\frac{3}{2}-0\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}-(-1)\right)}^2=\frac{9}{4}+\frac{9}{4}=\frac{9}{2}=4.5$

比较上述三种情况的长度平方可知：$4.5<4.914<5.5$。 因此，最短路径的长度为 $\sqrt{4.5}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。

答案为：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直三棱柱的几何性质、多面体表面两点间距离的展开转化。
2. 核心方法：平面直角坐标系建系法、穷举分类讨论思想。
3. 避坑指南：本题极易漏掉情况 ③。多数考生在直观空间感觉下，往往只在相邻的矩形侧面（情况 ②）或显而易见的侧面与底面（情况 ①）中寻找答案，容易忽视跨越对角面所对应棱 $A_1{C}_1$ 的展开路径，从而错失真正具有对称优势的最短路径。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题由初中经典的“圆柱或长方体表面动点爬行最短路径问题”升级而来，将其背景移入直三棱柱中，加深了对多面体空间位置关系的考查。 2.结论推广: 求解直棱柱表面两点间的最短路径问题时，不可只凭直观感觉，必须穷举所有涉及两点所在面相交的公共棱的平面展开方式，通过严密的代数计算比较，才能准确锁定极小值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)