2005-江西卷理-13 填-奇函数定义式及运算变形

本题导读

本题考查奇函数定义式及运算变形，以及对数运算性质。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷） 若函数 $f(x)={\log }_a(x+\sqrt{x^2+2a^2})$ 是奇函数，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据奇函数的定义，利用恒等式 $f(-x)+f(x)=0$ 列出关于 $a$ 的对数方程。
2. 利用对数的加法运算法则将真数部分相乘并结合平方差公式进行化简。
3. 根据对数底数 $a>0$ 且 $a\ne 1$ 的限制条件，对求出的参数值进行检验与确定。

✅【答案】

Success

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

因为函数 $f(x)={\log }_a(x+\sqrt{x^2+2a^2})$ 是奇函数， 所以对定义域内的任意 $x$，均有 $f(-x)+f(x)=0$。 代入解析式得： ${\log }_a(-x+\sqrt{(-x{)}^2+2a^2})+{\log }_a(x+\sqrt{x^2+2a^2})=0$ ${\log }_a\left[(\sqrt{x^2+2a^2}-x)(\sqrt{x^2+2a^2}+x)\right]=0$ 利用平方差公式化简真数部分得： ${\log }_a(x^2+2a^2-x^2)=0$ ${\log }_a(2a^2)=0$ 根据对数性质，真数必为 1，即： $2a^2=1⟹a^2=\frac{1}{2}$ 解得 $a=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。 又因为 $a$ 为对数函数的底数，必须满足 $a>0$ 且 $a\ne 1$， 所以舍去负值，得 $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：奇函数定义式及运算变形、对数运算性质 ${\log }_{a}M+{\log }_{a}N={\log }_a(MN)$。
2. 核心方法：函数定义法与代数方程法。
3. 避坑指南：一是容易忽略对数底数 $a>0$ 的隐藏限制，错误地保留负根导致失分；二是在化简 $\sqrt{(-x{)}^2+2a^2}$ 时，应直接写成 $\sqrt{x^2+2a^2}$，避免由于误写绝对值符号而导致化简受阻。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题源于经典函数 $\ln (x+\sqrt{x^2+1})$ 奇偶性证明的改编。该函数在高等数学中代表反双曲正弦函数 $\text{arsinh}(x)$ 的代数解析式，是一类性质非常优美的标准奇函数。 2.结论推广: 形式如 $g(x)={\log }_a(x+\sqrt{x^2+k})$（其中常数 $k>0$）的函数在其定义域 $\mathbf{R}$ 上恒为奇函数。若满足该性质，则必有 $k=1$（当对数底数固定或通过本题形式建立关联）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)