2005-江西卷理-12 单-排列组合中的平均分组问题

本题导读

本题核心考查排列组合中的平均分组（分堆）问题以及古典概型的概率计算。解题关键在于准确计算无序平均分组的总方案数，并通过有序穷举找出所有满足每组均为等差数列的特定分组。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷） 将 $1,2,\cdots ,9$ 这 $9$ 个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为 ()

A. $\frac{1}{56}$　　　　　　B. $\frac{1}{70}$　　　　　　C. $\frac{1}{336}$　　　　　　D. $\frac{1}{420}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用组合数公式计算将 9 个不同数字平均分成 3 个无编号组的总方法数（注意平均分组需除以组数的全排列以消除顺序）。
2. 采用穷举法，锁定元素“1”所在组的公差进行分类讨论，找出所有满足三组均成等差数列的分组方案。
3. 利用古典概型公式求出最终概率。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

首先计算总的分组方案数：将 9 个不同的数平均分成三组（每组 3 个数，不计组的顺序），总方法数为： $N=\frac{C_9^3\cdot C_6^3\cdot C_3^3}{A_3^3}=\frac{84\times 20\times 1}{6}=280$

接下来寻找满足“每组三个数都成等差数列”的分组情况。通过锁定数字 $1$ 所在组的公差 $d$ 进行分类穷举：

1. 若 1 所在组的公差 $d=1$，即该组为 $\{1,2,3\}$，剩余数字 $\{4,5,6,7,8,9\}$ 可配成： ① $\{1,2,3\},\{4,5,6\},\{7,8,9\}$ ② $\{1,2,3\},\{4,6,8\},\{5,7,9\}$
2. 若 1 所在组的公差 $d=2$，即该组为 $\{1,3,5\}$，剩余数字 $\{2,4,6,7,8,9\}$ 可配成： ③ $\{1,3,5\},\{2,4,6\},\{7,8,9\}$
3. 若 1 所在组的公差 $d=3$，即该组为 $\{1,4,7\}$，剩余数字 $\{2,3,5,6,8,9\}$ 可配成： ④ $\{1,4,7\},\{2,5,8\},\{3,6,9\}$
4. 若 1 所在组的公差 $d=4$，即该组为 $\{1,5,9\}$，剩余数字 $\{2,3,4,6,7,8\}$ 可配成： ⑤ $\{1,5,9\},\{2,3,4\},\{6,7,8\}$

综上所述，符合条件的分组情况共有 5 种。 故所求的概率为 $P=\frac{5}{280}=\frac{1}{56}$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：均匀分堆模型、古典概型、等差数列构造。
2. 核心方法：锁定元素穷举法、均分除序法。
3. 避坑指南：一是计算总方案数时，极易忘记除以 $A_3^3$，导致总数错误计算为 $1680$；二是在穷举等差数列时，往往只能想到连续自然数的情形（如公差为 1），而遗漏了公差为 2、3、4 的交错组合情形。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题是由经典组合数学中的“限制性无序分堆模型”与数列性质交汇改编而成的压轴选择题，侧重对逻辑严密性的考查。 2.结论推广: 将 $1,2,\cdots ,3n$ 这 $3n$ 个连续正整数平均分成 $n$ 组，若要求每组的三个数都成等差数列，当 $n=3$ 时，符合条件的方法数恒为 5 种。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略

类题演练 (Links)