2005-江西卷理-08 单-函数极限的定义与性质

本题导读

本题核心考查函数极限的换元法以及极限的基本性质。解题的关键在于通过合理的变量代换，将复杂的复合函数极限结构转化为已知标准极限形式进行求解。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷） 若 ${\lim }_{x\to 1}\frac{f(x-1)}{x-1}=1$，则 ${\lim }_{x\to 1}\frac{x-1}{f(2-2x)}=($\quad\quad$)$

A. -1　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. $-\frac{1}{2}$　　　　　　　D. $\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用换元法，令 $t=x-1$，将已知极限转化为 $t\to 0$ 时 $\frac{f(t)}{t}$ 的极限。
2. 观察待求极限的特征，将分母的自变量 $2-2x$ 进行变形，建立与分子 $x-1$ 的数量关系。
3. 再次运用换元法对未知极限进行整体代换并求解。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由已知条件 ${\lim }_{x\to 1}\frac{f(x-1)}{x-1}=1$，令 $t=x-1$。 当 $x\to 1$ 时，$t\to 0$， 所以 ${\lim }_{t\to 0}\frac{f(t)}{t}=1$。

对于待求极限 ${\lim }_{x\to 1}\frac{x-1}{f(2-2x)}$，注意到分母内自变量为 $2-2x=-2(x-1)$。 令 $u=2-2x=-2(x-1)$，则有 $x-1=-\frac{1}{2}u$。 当 $x\to 1$ 时，$u\to 0$。 将上述代换关系代入待求极限中，得： ${\lim }_{x\to 1}\frac{x-1}{f(2-2x)}={\lim }_{u\to 0}\frac{-\frac{1}{2}u}{f(u)}=-\frac{1}{2}{\lim }_{u\to 0}\frac{u}{f(u)}$

因为 ${\lim }_{u\to 0}\frac{f(u)}{u}=1$，由极限的倒数性质可知 ${\lim }_{u\to 0}\frac{u}{f(u)}=\frac{1}{1}=1$。 所以原式 $=-\frac{1}{2}\times 1=-\frac{1}{2}$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：极限的换元法则、极限的倒数与常数因子运算法则。
2. 核心方法：自变量的凑配与整体替换法。
3. 避坑指南：在转化自变量时，极易忽略系数关系，例如将 $x-1$ 与 $2-2x$ 的比例系数 $-2$ 错看成 $2$，或者在移项变形时将 $-\frac{1}{2}$ 误算为 $-2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题原型来自于高等数学中微积分基础部分的“复合函数求极限”定理，属于高中导数定义拓展题型。 2.结论推广: 若已知 ${\lim }_{x\to a}\frac{f(x-a)}{x-a}=k$ 且 $k\ne 0$，对于常数 $m\ne 0$，则必有极限结论：${\lim }_{x\to a}\frac{x-a}{f(m(a-x))}=-\frac{1}{mk}$。

🔗【关联脉络】

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