2005-江西卷理-06 单-平面向量的坐标运算

本题导读

本题核心考查平面向量的坐标加法运算、数量积定义以及夹角公式。解题关键在于通过坐标观察，发现已知向量之间的共线反向关系，从而利用整体代换简化运算。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷） 已知向量 $\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(-2,-4)$，$|\vec{c}|=\sqrt{5}$，若 $(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{c}=\frac{5}{2}$，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 的夹角为 ()

A. $30^{\circ }$　　　　　　B. $60^{\circ }$　　　　　　C. $120^{\circ }$　　　　　　D. $150^{\circ }$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算出综合向量 $\vec{a}+\vec{b}$ 的坐标，观察并找出它与基准向量 $\vec{a}$ 的代数关系。
2. 将该关系代入已知数量积等式中，求出 $\vec{a}\cdot \vec{c}$ 的具体数值。
3. 计算向量 $\vec{a}$ 的模长，利用向量夹角公式求出其余弦值，进而确定夹角大小。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(-2,-4)$， 所以 $\vec{a}+\vec{b}=(1-2,2-4)=(-1,-2)=-\vec{a}$。 将 $\vec{a}+\vec{b}=-\vec{a}$ 代入已知条件 $(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{c}=\frac{5}{2}$ 中， 得：$-\vec{a}\cdot \vec{c}=\frac{5}{2}$，即 $\vec{a}\cdot \vec{c}=-\frac{5}{2}$。 又因为 $|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，且 $|\vec{c}|=\sqrt{5}$， 设 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 的夹角为 $\theta$（$\theta \in [0^{\circ },180^{\circ }]$）， 则 $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{c}}{|\vec{a}||\vec{c}|}=\frac{-\frac{5}{2}}{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}=-\frac{1}{2}$。 由于 $\theta \in [0^{\circ },180^{\circ }]$，所以 $\theta =120^{\circ }$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量的坐标加减法则、向量数量积的几何与代数计算公式。
2. 核心方法：数形结合下的“整体代换法”。
3. 避坑指南：切忌盲目设 $\vec{c}=(x,y)$ 去列方程组，这样会导致未知数过多且条件不足，陷入繁琐的代数运算中；此外需注意反三角函数值的特殊角对应，莫将 $\cos \theta =-\frac{1}{2}$ 误判为 $60^{\circ }$ 或 $150^{\circ }$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题由人教A版必修第二册“平面向量的数量积”课后关于向量夹角计算的常规题型升华而来，旨在考查学生敏锐的数觉观察力。 2.结论推广: 若已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 满足 $\vec{b}=\lambda \vec{a}$（$\lambda \ne -1$），则对于任意向量 $\vec{c}$，均有 $(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{c}=(1+\lambda )(\vec{a}\cdot \vec{c})$。此结论常用于高考试题中复合向量数量积的快速化简。

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