2005-江西卷理-04 单-二项式定理及通项公式

本题导读

本题核心考查二项展开式的通项公式与分数指数幂的化简合并。解题关键在于求出通项中 $x$ 的次数代数式，并利用整数的整除性确定满足正整数次幂条件的项数。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷） $(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}{)}^{12}$ 的展开式中，含 $x$ 的正整数次幂的项共有 ()

A. 4 项　　　　　B. 3 项　　　　　C. 2 项　　　　　D. 1 项

🔍【思路分析】

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1. 写出二项展开式的通项公式 $T_{r+1}$，并将根式化为分数指数幂的形式进行底数合并。
2. 根据“正整数次幂”的要求，令 $x$ 的指数表达式为正整数，结合 $r$ 的取值范围通过整除性求出满足条件的 $r$ 的个数。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}{)}^{12}$ 的展开式通项公式为： $T_{r+1}=C_{12}^r(\sqrt{x}{)}^{12-r}(\sqrt[3]{x}{)}^r=C_{12}^r{x}^{\frac{12-r}{2}}{x}^{\frac{r}{3}}=C_{12}^r{x}^{6-\frac{r}{2}+\frac{r}{3}}=C_{12}^r{x}^{6-\frac{r}{6}}$ 其中 $r\in \{0,1,2,\dots ,12\}$ 且 $r\in \mathbf{Z}$。

要使该项含 $x$ 的正整数次幂，则 $x$ 的指数 $6-\frac{r}{6}$ 必须为正整数。 首先，$\frac{r}{6}$ 必须为整数，因此 $r$ 必须是 6 的倍数； 其次，必须满足 $6-\frac{r}{6}>0$，即 $r<36$。

在 $0\le r\le 12$ 范围内，满足条件为 6 的倍数的 $r$ 值可以取：$0,6,12$。

• 当 $r=0$ 时，指数为 $6$；
• 当 $r=6$ 时，指数为 $5$；
• 当 $r=12$ 时，指数为 $4$。

对应的 3 个指数均为正整数，因此含 $x$ 的正整数次幂的项共有 3 项。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开式的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$、指数幂的运算法则。
2. 核心方法：通项指数整除分析法。
3. 避坑指南：一是在合并指数时，容易将 $\frac{12-r}{2}+\frac{r}{3}$ 通分错写为 $6-\frac{5r}{6}$，需注意负号的影响；二是需要精准区分“正整数项”、“有理项”与“常数项”的区别。若本题要求的是有理项，则 $r$ 的取值仍为 $0,6,12$，但若通项公式中出现负指数或 0 次幂，判定“正整数次幂”时必须严格剔除。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题源于人教A版选择性必修第三册“计数原理”章节中关于二项式定理通项应用的典型习题，是高考对代数基本功考查的常青题型。 2.结论推广: 对于展开式 $(x^{1/m}+x^{1/n}{)}^N$（$m,n,N\in {\mathbf{N}}^{\ast }$），其通项中 $x$ 的指数为 $\frac{N-r}{m}+\frac{r}{n}=\frac{N}{m}+r\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{m}\right)$。要求某类特定次数的项数，其本质是转化为求一元一次同余方程在有限闭区间 $[0,N]$ 上的整数解个数问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 04.01 指数与对数运算

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