2005-江西卷文-22 解-摆动数列的通项公式

本题导读

本题考查由前 $n$ 项和关系求数列通项，以及摆动数列的奇偶分治。核心在于隔项作差建立递推并用归纳法分奇偶求通项。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷(文)） 已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 满足 $S_n-S_{n-2}=3{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}(n⩾3)$，且 $S_1=1$，$S_2=-\frac{3}{2}$．求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $S_1$、$S_2$ 求 $a_1$、$a_2$。
2. 隔项作差 $a_{n-1}+a_n=S_n-S_{n-2}$ 建递推。
3. 归纳法分奇偶求通项并验证初值。

✅【答案】

Success

$a_n=\{\begin{array}{ll}4-3{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1},& n\text{ 为奇数}\\ -4+3{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1},& n\text{ 为偶数}\end{array}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $a_1=S_1=1$，$a_2=S_2-S_1=-\frac{5}{2}$，且对 $n⩾3$，$a_{n-1}+a_n=S_n-S_{n-2}=3{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$，因此 $a_n=3{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}-a_{n-1}$． 下面用归纳法求 $a_n$．当 $n=1$、$n=2$ 时，分别有 $a_1=4-3$、$a_2=-4+3\times \frac{1}{2}$，结论成立． 若结论对 $n-1$ 成立，当 $n$ 为奇数时 $n-1$ 为偶数，代入递推式得 $a_n=3{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}+4-3{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-2}=4-3{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$；当 $n$ 为偶数时 $n-1$ 为奇数，代入递推式得 $a_n=-3{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}-4+3{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-2}=-4+3{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$． 所以 $a_n=\{\begin{array}{ll}4-3{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1},& n\text{ 为奇数}\\ -4+3{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1},& n\text{ 为偶数}\end{array}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：摆动数列的通项公式

核心方法：$a_n=3{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}-a_{n-1}$ 归纳 + 奇偶分治

避坑指南：$S_n-S_{n-2}=a_{n-1}+a_n$（隔项作差）是转化起点；归纳验证要同时验证 $n=1,2$；奇偶两支别写反

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 5 数列

结论推广：$S_n-S_{n-2}=a_{n-1}+a_n$；摆动数列 $a_n=3(-\frac{1}{2}{)}^{n-1}-a_{n-1}$ 交替递推

方法推广：“和式差 $=$ 相邻两项和”的数列先写递推，再用归纳法按奇偶分治求通项并验证初值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2012-大纲卷(理)-22 解-数列综合
• 2010-大纲卷I理-22 解-数列
• 2007-大纲卷I理-22 解-数学归纳法