2005-江西卷文-19 解-掷币游戏的终止概率

本题导读

本题考查掷币游戏终止概率的计算。核心在于建立差值随机游走模型并按首达时刻分类数路径。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷(文)） $A$、$B$ 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时 $A$ 赢得 $B$ 一张卡片，否则 $B$ 赢得 $A$ 一张卡片．如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止．求掷硬币的次数不大于 7 次时游戏终止的概率．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设正反面次数之差 $D_n$，游戏在 $D_n=5$ 或 $D_n=-5$ 终止。
2. $D_n$ 与 $n$ 同奇偶，7 次内只可能 $n=5$ 或 $n=7$ 终止。
3. 分别数路径并注意排除提前终止。

✅【答案】

Success

设正面出现的次数与反面出现的次数之差为Dn.每投掷一次硬币，Dn增加1或减少1，游戏在Dn=5或Dn=−5时终止.

✍【详细解析】

Abstract

设正面出现的次数与反面出现的次数之差为 $D_n$．每投掷一次硬币，$D_n$ 增加 $1$ 或减少 $1$，游戏在 $D_n=5$ 或 $D_n=-5$ 时终止．由于 $D_n$ 与 $n$ 具有相同的奇偶性，游戏在 7 次以内终止的次数只能是 5 或 7． 5 次终止时，必须连续出现 5 次正面或连续出现 5 次反面，所以 $P(T=5)=\frac{2}{2^5}=\frac{1}{16}$． 第 7 次终止时，以正面终止为例，前 6 次中必须有 5 次正面和 1 次反面，且反面必须出现在前 5 个位置之一（否则会在第 5 次已经终止），因此共有 5 种；以反面终止同理有 5 种，从而 $P(T=7)=\frac{10}{2^7}=\frac{5}{64}$． 所以掷硬币的次数不大于 7 次时游戏终止的概率为 $P(T⩽7)=\frac{1}{16}+\frac{5}{64}=\frac{9}{64}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：掷币游戏的终止概率

核心方法：设净胜张数 $D_n$，按 $|D_n|=5$ 首达分解 $T=5$ 与 $T=7$

避坑指南：$T=7$ 时唯一反面必须落在前 5 位（否则第 5 次已终止）；只算”5 正 1 反”不排提前终止会得 $6$ 种

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 3 概率

结论推广：随机游走首达时间：$P(T=n)=\frac{\#\{\text{合法路径}\}}{2^n}$；奇偶性限定可行 $n$

方法推广：“游戏终止”类概率先建差值随机游走模型，再按首达时刻分类数路径（注意排除提前终止）

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-19 解-独立事件概率
• 2017-全国卷II文-19 解-独立性检验
• 2016-全国卷I文-19 解-概率