2005-江西卷文-17 解-分式函数与含参不等式

本题导读

本题考查分式函数解析式的确定与含参不等式的求解。核心在于移项通分后按参数与根的位置分类讨论。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷(文)） 已知函数 $f(x)=\frac{x^2}{ax+b}$（$a$，$b$ 为常数），且方程 $f(x)-x+12=0$ 有两个实根 $x_1=3$，$x_2=4$．

(1) 求函数 $f(x)$ 的解析式；

(2) 设 $k>1$，解关于 $x$ 的不等式 $f(x)<\frac{(k+1)x-k}{2-x}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将 $x=3$、$x=4$ 代入方程得 $a$、$b$ 的方程组。
2. 解出 $a$、$b$ 得 $f(x)$。
3. (2) 移项通分后按 $k$ 与 $2$ 的大小分类穿根。

✅【答案】

Success

（1）将x=3和x=4代入方程，分别得93a+b−3+12=0，16

✍【详细解析】

Abstract

(1) 将 $x=3$ 与 $x=4$ 代入方程，分别得 $\frac{9}{3a+b}-3+12=0$，$\frac{16}{4a+b}-4+12=0$，即 $3a+b=-1$，$4a+b=-2$，解得 $a=-1$，$b=2$．所以 $f(x)=\frac{x^2}{2-x}$，且 $x\ne 2$． (2) 由定义域知 $x\ne 2$，原不等式等价于 $\frac{x^2}{2-x}-\frac{(k+1)x-k}{2-x}<0$，即 $\frac{x^2-(k+1)x+k}{2-x}<0$，即 $\frac{(x-1)(x-k)}{2-x}<0$，等价于 $(x-1)(x-k)(x-2)>0$． 当 $1<k<2$ 时，按分点 $1$、$k$、$2$ 穿根得 $x\in (1,k)\cup (2,+\infty )$；当 $k=2$ 时，$(x-1)(x-2{)}^2>0$，得 $x\in (1,2)\cup (2,+\infty )$；当 $k>2$ 时，按分点 $1$、$2$、$k$ 穿根得 $x\in (1,2)\cup (k,+\infty )$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分式函数与含参不等式

核心方法：两根代入解 $a,b$；含参不等式按 $k$ 与 $2$ 的大小分三类

避坑指南：分式不等式先移项通分成 $\frac{(x-1)(x-k)}{2-x}<0$，等价转化为整式 $(x-1)(x-k)(x-2)>0$ 再穿根；$k=2$ 的临界情形别漏

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 5 不等式

结论推广：分式不等式 $\frac{f(x)}{g(x)}<0⟺f(x)g(x)<0$；含参按根的相对位置分类

方法推广：解含参分式不等式三步：移项通分、等价化整式、按参数分类穿根（临界值单列）

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1999-全国卷理-17 填-基本不等式求 ab 范围
• 2010-大纲Ⅰ文-13 填-分式不等式
• 2010-大纲Ⅱ文-02 单-分式不等式