2005-江西卷文-11 单-向量坐标的三角形面积

本题导读

本题考查平面向量坐标运算下三角形面积的最值，以及二倍角函数的最小值定位。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷(文)） 在 $△OAB$ 中，$O$ 为坐标原点，$A(1,\cos \theta )$，$B(\sin \theta ,1)$，$\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right]$，则 $△OAB$ 的面积达到最大值时，$\theta =$()

A. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $S=\frac{1}{2}|\det (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})|=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}\sin 2\theta \right)$。
2. $\sin 2\theta$ 最小时 $S$ 最大，$\theta =\frac{\pi }{2}$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

$S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OB}|=\frac{1}{2}|1\times 1-\cos \theta \cdot \sin \theta |=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}\sin 2\theta \right)$（$\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right]$ 时 $\sin 2\theta ⩾0$，绝对值可直接去掉）．当 $\sin 2\theta$ 最小即 $2\theta =\pi$、$\theta =\frac{\pi }{2}$ 时，$S$ 取最大值 $\frac{1}{2}$，选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量坐标的三角形面积

核心方法：$S=\frac{1}{2}|\det (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})|=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2}\sin 2\theta )$

避坑指南：$\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right]$ 时 $\sin 2\theta >0$，$\det$ 恒正不必取绝对值；$\sin 2\theta$ 最小值 $0$ 在 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 取得，别在 $\theta =\frac{\pi }{4}$ 处误判最大

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 4 平面向量的坐标运算

结论推广：$S_{△OAB}=\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$；本题 $\det =1-\frac{1}{2}\sin 2\theta$

方法推广：坐标三角形面积直接用行列式公式，避免先求线段长再求高的繁琐路径

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2020-新课标I文-11 单-三角形面积
• 2009-大纲Ⅰ文-11 单-二面角距离最值
• 2017-全国卷III文-11 单-椭圆