2005-江西卷文-10 单-指数幂比较的命题判定

本题导读

本题考查指数等式下参数大小关系的命题判定，以及取对数后的分类讨论。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷(文)） 已知实数 $a$，$b$ 满足等式 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^a={\left(\frac{1}{3}\right)}^b$，下列五个关系式： ①$0<b<a$；②$a<b<0$；③$0<a<b$；④$b<a<0$；⑤$a=b$． 其中不可能成立的关系式有()

A. 1 个　　　　　B. 2 个　　　　　C. 3 个　　　　　D. 4 个

🔍【思路分析】

破题导航

1. 两边取对数：$a\ln 2=b\ln 3$，即 $b={\log }_{3}2\cdot a\approx 0.63a$。
2. 按 $a>0$、$a<0$、$a=0$ 分类检验五个关系式。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

对 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^a={\left(\frac{1}{3}\right)}^b$ 两边取自然对数，得 $a\ln \frac{1}{2}=b\ln \frac{1}{3}$，即 $a\ln 2=b\ln 3$，故 $b={\log }_{3}2\cdot a$，其中 $0<{\log }_{3}2<1$． 当 $a>0$ 时 $0<b<a$，①可能成立、③不可能；当 $a<0$ 时 $a<b<0$，②可能成立、④不可能；当 $a=b=0$ 时⑤成立．所以不可能成立的关系式是③④，共 2 个，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数幂比较的命题判定

核心方法：由 $a\ln 2=b\ln 3$ 得 $b\approx 0.63a$ 再逐一检验

避坑指南：正负要分开讨论：$a>0$ 与 $a<0$ 时 $b$ 与 $a$ 的大小关系相反；漏讨论 $a=b=0$（⑤成立）会多算一个”不可能”

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 1 指数函数

结论推广：$(1/2{)}^a=(1/3{)}^b⟺a\ln 2=b\ln 3⟺b={\log }_{3}2\cdot a$（${\log }_{3}2\approx 0.63$）

方法推广：比较幂/对数大小：同构取对数化为线性关系，再按 $a$ 的符号分类检验各命题

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2020-新课标III文-10 单-比较大小
• 2016-全国卷II文-10 单-对数