2005-江西卷文-09 单-折叠图形的外接球

本题导读

本题考查折叠图形中外接球的体积，以及直角条件下球的直径的确定。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷(文)） 矩形 $ABCD$ 中，$AB=4$，$BC=3$，沿 $AC$ 将矩形 $ABCD$ 折成一个直二面角 $B-AC-D$，则四面体 $ABCD$ 的外接球的体积为()

A. $\frac{125}{12}\pi$　　　　　B. $\frac{125}{9}\pi$　　　　　C. $\frac{125}{6}\pi$　　　　　D. $\frac{125}{3}\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 折叠不变量：$\angle ABC=\angle ADC=90^{\circ }$。
2. $A,B,C,D$ 都在以 $AC$ 为直径的球面上。
3. $R=\frac{AC}{2}$，套体积公式。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

折叠不改变面内的角，故 $\angle ABC=\angle ADC=90^{\circ }$ 在折叠后仍然成立．对四面体 $ABCD$，$\angle ABC$ 与 $\angle ADC$ 都是直角，即 $B$、$D$ 都落在以 $AC$ 为直径的球面上（$A$、$C$ 亦然），所以外接球直径为 $AC=\sqrt{4^2+3^2}=5$，半径 $R=\frac{5}{2}$．外接球体积 $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \times \frac{125}{8}=\frac{125}{6}\pi$，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：折叠图形的外接球

核心方法：抓 $\angle ABC=\angle ADC=90^{\circ }$ 不变量定直径

避坑指南：折叠不改变面内的直角，$A,B,C,D$ 四点共球且 $AC$ 是直径；另起炉灶找球心会绕远路

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 2 立体几何（外接球）

结论推广：多面体中有多个直角且共享斜边时，公共斜边即外接球直径（直角直径定理）

方法推广：折叠问题先列”折叠不变量”（面内角、线段长），再用不变量定位外接球

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷理-09 单-空间折叠问题
• 2017-全国卷II文-15 填-外接球
• 2018-全国卷II理-20 解-线面垂直