2005-江西卷文-08 单-正弦定理命题的充要条件

本题导读

本题考查充分必要条件的判定，以及正弦定理在三角形形状判定中的应用。

📌【题干】

Question

（2005年江西卷(文)） 在 $△ABC$ 中，设命题 $p:\frac{a}{\sin B}=\frac{b}{\sin C}=\frac{c}{\sin A}$，命题 $q:△ABC$ 是等边三角形，那么命题 $p$ 是命题 $q$ 的()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分又不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. $q\Rightarrow p$：等边时三边相等代入即成立。
2. $p\Rightarrow q$：与正弦定理联立得 $\sin A=\sin B=\sin C$。
3. 排除互补情形得等边。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

若 $q$ 成立，则 $a=b=c$，$A=B=C$，代入得 $p$ 成立，即 $q\Rightarrow p$．若 $p$ 成立，由正弦定理 $a=2R\sin A$ 等代入 $p$，得 $\frac{\sin A}{\sin B}=\frac{\sin B}{\sin C}=\frac{\sin C}{\sin A}$；设该比值为 $\lambda$，三式相乘得 ${\lambda }^3=1$，故 $\lambda =1$，即 $\sin A=\sin B=\sin C$．又三角形内角和为 $\pi$，若某两角互补则第三角为 $0$，矛盾，故 $A=B=C$，$q$ 成立，即 $p\Rightarrow q$．综上 $p$ 是 $q$ 的充要条件，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理命题的充要条件

核心方法：由正弦定理把比例式化为 $\sin A=\sin B=\sin C$

避坑指南：$\sin$ 相等还须排除”互补”情形——三角形内角和限定下互补不成立；只验 $q\Rightarrow p$ 不验反向就会选 A

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 5 解三角形与常用逻辑用语

结论推广：$\frac{a}{\sin B}=\frac{b}{\sin C}=\frac{c}{\sin A}$ 与正弦定理联立得 $\sin A=\sin B=\sin C$

方法推广：三角形中”$\sin$ 相等 $\Rightarrow$ 角相等”需借内角和排除互补——这是命题判定的关键一步

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2020-新课标II文-05 单-向量垂直
• 2018-全国卷III理-13 填-向量坐标运算
• 2018-全国卷I文-16 填-解三角形