2005-江苏卷-20 解-相互独立事件的概率

本题导读

本题考查相互独立事件的概率计算及二项分布模型。第一问利用对立事件简化计算；第二问利用独立重复试验的概率乘法公式求解；第三问通过对中止射击的临界状态进行序列分步拆解，考查分类与逻辑推理能力。

📌【题干】

Question

（2005年江苏卷） 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{3}{4}$. 假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.

(1) 求甲射击 4 次，至少 1 次未击中目标的概率；

(2) 求两人各射击 4 次，甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率；

(3) 假设某人连续 2 次未击中目标，则停止射击. 问：乙恰好射击 5 次后，被中止射击的概率是多少？

🔍【思路分析】

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1. 第一问：“至少有 1 次未击中”的对立事件为“4 次全部击中”，利用 $P=1-P(\text{全中})$ 计算。
2. 第二问：由于甲、乙互不影响，分别计算甲 4 试 2 中与乙 4 试 3 中的独立重复试验概率，再根据乘法公式相乘。
3. 第三问：“恰好射击 5 次后被中止”意味着第 4 次和第 5 次必须均未击中，且第 3 次必须击中（否则会在第 3 次或第 4 次提前中止），前 2 次不能连续未击中。由此锁定合法的状态序列组合进行分步计算。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{65}{81}$

(2) $\frac{1}{8}$

(3) $\frac{45}{1024}$

✍【详细解析】

Abstract

设甲击中目标的概率为 $p_1=\frac{2}{3}$，未击中的概率为 $q_1=\frac{1}{3}$； 设乙击中目标的概率为 $p_2=\frac{3}{4}$，未击中的概率为 $q_2=\frac{1}{4}$。

(1) 甲射击 4 次，全部击中目标的概率为： $P(\text{全中})=p_1^4={\left(\frac{2}{3}\right)}^4=\frac{16}{81}$ 由对立事件性质，至少 1 次未击中目标的概率为： $P_1=1-P(\text{全中})=1-\frac{16}{81}=\frac{65}{81}$

(2) 设“甲恰好击中 2 次”为事件 $M$，“乙恰好击中 3 次”为事件 $N$。 根据独立重复试验概率公式： $P(M)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)p_1^2{q}_1^2=6\times {\left(\frac{2}{3}\right)}^2\times {\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{8}{27}$ $P(N)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)p_2^3{q}_2^1=4\times {\left(\frac{3}{4}\right)}^3\times {\left(\frac{1}{4}\right)}^1=\frac{27}{64}$ 因为甲、乙两人射击互不影响，所以所求概率为： $P_2=P(M)\cdot P(N)=\frac{8}{27}\times \frac{27}{64}=\frac{1}{8}$

(3) 乙恰好射击 5 次后被中止射击，说明： 第 4 次、第 5 次均未击中； 第 3 次必须击中（若未击中，则在第 3 次或第 4 次已终止）； 前 2 次不能连续未击中（即排除“未击中、未击中”的情况）。

前 2 次射击不连续未击中的概率为： $1-q_2^2=1-{\left(\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{15}{16}$ 第 3 次击中的概率为 $p_2=\frac{3}{4}$，第 4、5 次均未击中的概率为 $q_2^2={\left(\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{1}{16}$。 由于各次射击相互独立，所求概率为： $P_3=\frac{15}{16}\times \frac{3}{4}\times \frac{1}{16}=\frac{45}{1024}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：独立重复试验（二项分布）模型，特定终止条件下的概率序列构造。
2. 核心方法：状态路径解析法。通过倒推最后两项的状态，依次向前锁定临界项，确保序列不重不漏。
3. 避坑指南：第三问极易漏掉“第 3 次必须击中”这一关键隐藏条件。若第 3 次不击中，则会在第 4 次（序列：中、未、未、未）或第 3 次（序列：未、未）提前终止，无法达到“恰好射击 5 次”的要求。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中关于独立性检验与马尔可夫链接收状态的简化初等数学模型。通过引入“连续 $k$ 次失败则停止”的生存分析规则，考查条件限制下的概率路径。
2. 结论推广：若单次失败概率为 $q$，成功概率为 $p$，规定连续 2 次失败则停止。则恰好在第 $n$ ($n\ge 3$) 次停止的概率为 $a_{n-3}\cdot p\cdot q^2$，其中数列 $a_n$ 满足斐波那契类型的递推关系，用于描述前 $n$ 次不出现连续失败的合法序列数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.04 二项分布与超几何分布
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)