2005-江苏卷-15 填-函数定义域的求法

本题导读

本题考查复合函数的定义域求解。要求掌握根式函数与对数函数成立的边界条件，并求解一元二次不等式组。

📌【题干】

Question

（2005年江苏卷） 函数 $y=\sqrt{{\log }_{0.5}(4x^2-3x)}$ 的定义域为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 列出不等式组：根据算术平方根被开方数非负以及对数真数大于 0 的性质列出不等式组。
2. 求解不等式：底数 0.5 小于 1，去对数号时不等号需改变方向，再利用因式分解求解一元二次不等式。
3. 求交集：求出各不等式解集的公共部分。

✅【答案】

Success

$\left[-\frac{1}{4}, 0\right) \cup \left

✍【详细解析】

Abstract

要使函数有意义，需满足： $\{\begin{array}{ll}{\log }_{0.5}(4x^2-3x)\ge 0& \text{(1)}\\ 4x^2-3x>0& \text{(2)}\end{array}$

解不等式①： 因为对数底数 $0.5\in (0,1)$，对数函数单调递减，不等式转化为： $4x^2-3x\le 0.5^0⟹4x^2-3x-1\le 0$ 因式分解得： $(4x+1)(x-1)\le 0⟹-\frac{1}{4}\le x\le 1$

解不等式②： $4x^2-3x>0⟹x(4x-3)>0⟹x<0\text{ 或 }x>\frac{3}{4}$

求两个解集的交集： $\{\begin{array}{l}-\frac{1}{4}\le x\le 1\\ x<0\text{ 或 }x>\frac{3}{4}\end{array}⟹-\frac{1}{4}\le x<0\text{ 或 }\frac{3}{4}<x\le 1$ 用区间形式表示为 $\left[-\frac{1}{4},0\right)\cup \left(\frac{3}{4},1\right]$。

答案：$\left[-\frac{1}{4},0\right)\cup \left(\frac{3}{4},1\right]$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数真数限制条件 $f(x)>0$，以及底数在 $(0,1)$ 区间内时不等号的方向反转。
2. 核心方法：不等式组交集法。将多重限制转化为标准一元二次不等式组求解。
3. 避坑指南：一是解对数不等式时易遗忘底数 $0.5<1$ 导致未改变不等号方向；二是易忽视真数大于 0 的隐含限制。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中对数函数与二次函数复合求定义域的经典课后习题，通过根式和对数的双重嵌套检验值域边界。
2. 结论推广：对于函数 $y=\sqrt{{\log }_{a}f(x)}$，当 $0<a<1$ 时，其定义域的充要条件为 $0<f(x)\le 1$；当 $a>1$ 时，其定义域的充要条件为 $f(x)\ge 1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 03.01 不等式解法体系
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)