2005-江苏卷-12 单-四棱锥的结构特征

本题导读

本题通过四棱锥的棱结构特征考查排列组合与分步计数原理。

📌【题干】

Question

（2005年江苏卷） 四棱锥的 8 条棱代表 8 种不同的化工产品, 有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的, 没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的, 现打算用编号为①、②、③、④的 4 个仓库存放这 8 种化工产品, 那么安全存放的不同方法种数为()

A. 96　　　　　　　B. 48　　　　　　　C. 24　　　　　　　D. 0

🔍【思路分析】

破题导航

1. 四棱锥共 5 个顶点，若一个仓库存放 3 条两两不共顶点的棱，至少需要 6 个顶点，故每个仓库存放的棱数最多为 2 条。
2. 8 条棱存入 4 个仓库，每个仓库必须且只能存放 2 条两两不共顶点的棱。
3. 4 条侧棱共顶点 $V$，不能在同一仓库，必须分别与 4 条底棱配对。
4. 穷举侧棱与底棱的合法配对方案，再对 4 个仓库进行全排列。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设四棱锥顶点为 $V$，底面顶点依序为 $A,B,C,D$。 4 条侧棱为 $VA,VB,VC,VD$；4 条底棱为 $AB,BC,CD,DA$。 每个仓库必须由一条侧棱和一条不共顶点的底棱组成。

分类讨论侧棱 $VA$ 的配对情况：

1. 若 $VA$ 与底棱 $BC$ 配对： 则侧棱 $VD$ 只能与底棱 $AB$ 配对； 此时侧棱 $VC$ 只能与底棱 $DA$ 配对； 剩余侧棱 $VB$ 与底棱 $CD$ 配对。此为第 1 种配对方案。
2. 若 $VA$ 与底棱 $CD$ 配对： 则侧棱 $VB$ 只能与底棱 $DA$ 配对； 此时侧棱 $VC$ 只能与底棱 $AB$ 配对； 剩余侧棱 $VD$ 与底棱 $BC$ 配对。此为第 2 种配对方案。

综上，将 8 条棱两两配对的合法方案共有 2 种。 将分配好的 4 个棱对放入编号为①、②、③、④的 4 个不同仓库，共有 $A_4^4$ 种方法。 安全存放的不同方法种数为： $N=2\times A_4^4=2\times 24=48$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：四棱锥的棱点拓扑结构，分步乘法计数原理。
2. 核心方法：模型分类穷举法，位置全排列法。
3. 避坑指南：避免忽视侧棱全部共顶点的特征，错将两条侧棱分入同一仓库。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于图论中二分图的完美匹配与错排问题。
2. 结论推广：在每个仓库存放 2 条不共顶点的棱且仓库互异的前提下， $n$ 棱锥的安全存放方法数为 $2\cdot A_n^n$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)