2005-江苏卷-11 单-椭圆的几何性质与准线方程

本题导读

本题考查椭圆的几何性质及解析几何中的光线反射问题。核心意图是利用平面反射的光学性质找到已知点的对称点，将折线反射转化为直线共线问题，进而求出椭圆的关键几何量。

📌【题干】

Question

（2005年江苏卷） 点 $P(-3,1)$ 在椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 的左准线上. 过点 $P$ 且方向为 $\mathbf{a}=(2,-5)$ 的光线, 经直线 $y=-2$ 反射后通过椭圆的左焦点, 则这个椭圆的离心率为()

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B. $\frac{1}{3}$ C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D. $\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定准线方程：由点 $P(-3,1)$ 在左准线上，得出左准线方程为 $x=-3$，建立 $a,c$ 的代数关系。
2. 求出反射点坐标：写出入射光线的直线方程，求其与反射轴 $y=-2$ 的交点 $Q$。
3. 利用对称性求焦点：求出点 $P$ 关于直线 $y=-2$ 的对称点 $P^{\prime }$，由反射原理知 $P^{\prime }$、 $Q$ 与左焦点 $F_1(-c,0)$ 三点共线，通过斜率相等求出 $c$，进而计算离心率 $e$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

因为点 $P(-3,1)$ 在椭圆的左准线上， 所以椭圆的左准线方程为 $x=-\frac{a^2}{c}=-3$，即 $\frac{a^2}{c}=3⟹a^2=3c$。

已知入射光线过点 $P(-3,1)$ 且方向向量为 $\mathbf{a}=(2,-5)$， 其直线方程的对称式为： $\frac{x-(-3)}{2}=\frac{y-1}{-5}⟹5x+2y+13=0$ 令 $y=-2$，代入上式求入射光线与反射面 $y=-2$ 的交点 $Q$ 的横坐标： $5x+2\times (-2)+13=0⟹5x+9=0⟹x=-\frac{9}{5}$ 故反射点坐标为 $Q\left(-\frac{9}{5},-2\right)$。

根据光学反射原理，反射光线的反向延长线必过点 $P(-3,1)$ 关于反射面 $y=-2$ 的对称点 $P^{\prime }$。 设 $P^{\prime }$ 的坐标为 $(x^{\prime },y^{\prime })$，则： $x^{\prime }=-3,y^{\prime }=2\times (-2)-1=-5$ 即 $P^{\prime }(-3,-5)$。 由于反射光线通过椭圆的左焦点 $F_1(-c,0)$，所以点 $P^{\prime }(-3,-5)$、 $Q\left(-\frac{9}{5},-2\right)$、 $F_1(-c,0)$ 三点共线。

计算直线 $P^{\prime }Q$ 的斜率： $k=\frac{-2-(-5)}{-\frac{9}{5}-(-3)}=\frac{3}{\frac{6}{5}}=\frac{5}{2}$ 则直线 $P^{\prime }{F}_1$ 的方程为： $y-(-5)=\frac{5}{2}(x-(-3))⟹y+5=\frac{5}{2}(x+3)$ 将左焦点 $F_1(-c,0)$ 代入该直线方程： $0+5=\frac{5}{2}(-c+3)⟹2=3-c⟹c=1$ 将 $c=1$ 代入 $a^2=3c$ 得 $a^2=3⟹a=\sqrt{3}$。 所以椭圆的离心率为： $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆左准线方程 $x=-\frac{a^2}{c}$ 与左焦点 $F_1(-c,0)$ 的坐标形式，光线反射的对称性转化。
2. 核心方法：对称转化法。将折线段通过轴对称变换转化为直线段，从而利用直线的斜率公式或三点共线结论消元。
3. 避坑指南：求点 $P$ 关于 $y=-2$ 的对称点时，注意仅纵坐标发生变动，横坐标保持不变；在代入焦点坐标 $-c$ 时需带负号，切勿混淆为右焦点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是由圆锥曲线基本量性质与初等平面几何光学中的“将军饮马”对称思想融合变形而来的综合小题，侧重考查数形结合及多知识点的联动推导能力。
2. 结论推广：若点 $P(x_0,y_0)$ 在椭圆的左准线上，过 $P$ 的入射光线经水平线 $y=y_1$ 反射后通过左焦点 $F_1(-c,0)$，则必满足关于焦距参数 $c$ 的普适共线方程： $\frac{y_0-2y_1}{x_0+c}=k_{\text{incident}}$ 的变式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 16.05 对称性问题
• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)