2005-江苏卷-10 单-三角函数的诱导公式

本题导读

本题考查三角函数的诱导公式与二倍角公式。核心意图是考查角与角之间的配凑与转化能力。

📌【题干】

Question

（2005年江苏卷） 若 $\sin \left(\frac{\pi }{6}-\alpha \right)=\frac{1}{3}$，则 $\cos \left(\frac{2\pi }{3}+2\alpha \right)=$()

A. $-\frac{7}{9}$　　　　　　B. $-\frac{1}{3}$　　　　　　C. $\frac{1}{3}$　　　　　　D. $\frac{7}{9}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 寻找角度关系：建立已知角 $\frac{\pi }{6}-\alpha$ 与待求角 $\frac{2\pi }{3}+2\alpha$ 之间的线性特征。
2. 运用公式转化：通过互补关系进行诱导公式变形，再利用余弦的二倍角公式求解。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

设 $\theta =\frac{\pi }{6}-\alpha$，则 $\sin \theta =\frac{1}{3}$。 对待求角的代数式进行变形： $\frac{2\pi }{3}+2\alpha =\pi -\left(\frac{\pi }{3}-2\alpha \right)=\pi -2\left(\frac{\pi }{6}-\alpha \right)=\pi -2\theta$ 根据三角函数的诱导公式，有： $\cos \left(\frac{2\pi }{3}+2\alpha \right)=\cos (\pi -2\theta )=-\cos 2\theta$ 利用余弦的二倍角公式展开得： $-\cos 2\theta =-(1-2{\sin }^2\theta )$ 代入 $\sin \theta =\frac{1}{3}$ 计算： $-(1-2{\sin }^2\theta )=-\left(1-2\times {\left(\frac{1}{3}\right)}^2\right)=-\left(1-\frac{2}{9}\right)=-\frac{7}{9}$ 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：诱导公式 $\cos (\pi -x)=-\cos x$ 与二倍角公式 $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$ 的综合代数应用。
2. 核心方法：整体角配凑法。通过寻找两角之和为特殊常数（如 $\pi$）建立转化纽带。
3. 避坑指南：在应用诱导公式时，由 $\cos (\pi -2\theta )$ 转化为 $\cos 2\theta$ 时极易漏掉前置的负号，导致错选 D 选项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中三角恒等变换章节的经典配角问题。命题者利用非特殊角的倍数与补角关系组合，考查代数结构的识别能力。
2. 结论推广：对于任意角 $\alpha$，若已知 $\sin (\varphi -\alpha )=m$，则对应的补倍角余弦式恒满足：$\cos [2\varphi +(2k+1)\pi -2\alpha ]=2m^2-1$ ($k\in \mathbf{Z}$)。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)