2005-江苏卷-09 单-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理的通项公式及其应用。核心意图是考查考生利用二项展开式的通项公式计算特定项系数并进行定量筛选的能力。

📌【题干】

Question

（2005年江苏卷） 设 $k=1,2,3,4,5$，则 $(x+2{)}^5$ 的展开式中 $x^k$ 的系数不可能是()

A. 10　　　　　　　B. 40　　　　　　　C. 50　　　　　　　D. 80

🔍【思路分析】

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1. 写出通项公式：利用二项式定理写出 $(x+2{)}^5$ 展开式的通项公式 $T_{r+1}$。
2. 对应各项系数：令 $x$ 的指数等于 $k$，确定 $r$ 与 $k$ 的对应关系，进而计算出 $k=1,2,3,4,5$ 时对应的所有系数可能值。
3. 对比选项：将计算出的系数值与选项进行比对，找出不存在的值。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

根据二项式定理， $(x+2{)}^5$ 展开式的通项公式为： $T_{r+1}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{r}\right)x^{5-r}\cdot 2^r(r=0,1,2,3,4,5)$ 令 $k=5-r$，则 $x^k$ 的系数为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{5-k}\right)\cdot 2^{5-k}$。 根据 $k=1,2,3,4,5$，分别计算对应的系数值：

• 当 $k=5$ 时， $r=0$，系数为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{0}\right)\cdot 2^0=1\times 1=1$；
• 当 $k=4$ 时， $r=1$，系数为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)\cdot 2^1=5\times 2=10$；
• 当 $k=3$ 时， $r=2$，系数为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)\cdot 2^2=10\times 4=40$；
• 当 $k=2$ 时， $r=3$，系数为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)\cdot 2^3=10\times 8=80$；
• 当 $k=1$ 时， $r=4$，系数为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4}\right)\cdot 2^4=5\times 16=80$。

综上所述， $(x+2{)}^5$ 展开式中 $x^k$ ($k=1,2,3,4,5$) 的所有可能系数为 1, 10, 40, 80。 因此，系数不可能为 50。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项展开式通项公式 $T_{r+1}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)a^{n-r}{b}^r$ 的灵活运用。
2. 核心方法：穷举归纳法。通过有限项的逐一求解，将抽象的代数选择问题转化为具体的数值比对。
3. 避坑指南：注意通项公式中的项数与特殊指数的对应关系。公式中的 $r$ 从 0 开始取值，且要注意 $x$ 与常数 2 对应的指数位置不要记反，避免将系数错算为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{r}\right)2^{5-r}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题取材于教材中二项式定理基本应用章节的课后基础习题。命题者通过反向否定的设问方式（“不可能是”），加深了对展开式系数全貌特征的考查。
2. 结论推广：对于展开式 $(x+a{)}^n$，$x^k$ 项的系数为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)a^{n-k}$。当 $n$ 固定时，系数值的单调性与最大值分布不仅由组合数 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ 决定，还受到底数 $a$ 的幂次调制，其最大项的位置满足不等式组 $\frac{n+1}{a+1}-1\le k\le \frac{n+1}{a+1}$。

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