2005-江苏卷-08 单-空间点线面的位置关系

本题导读

本题考查空间中直线与平面、平面与平面的位置关系的判定与性质。核心意图是考查空间想象能力和逻辑推理能力，通过对四个命题的逐一辨析，检验考生对空间几何定理中临界条件的掌握。

📌【题干】

Question

（2005年江苏卷） 设 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 为两两不重合的平面，$l,m,n$ 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ① 若 $\alpha \perp \gamma ,\beta \perp \gamma$，则 $\alpha \parallel \beta$； ② 若 $m\subset \alpha ,n\subset \alpha ,m\parallel \beta ,n\parallel \beta$，则 $\alpha \parallel \beta$； ③ 若 $\alpha \parallel \beta ,l\subset \alpha$，则 $l\parallel \beta$； ④ 若 $\alpha \cap \beta =l,\beta \cap \gamma =m,\gamma \cap \alpha =n,l\parallel \gamma$，则 $m\parallel n$. 其中真命题的个数是()

A. 1　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 3　　　　　　　D. 4

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析命题①：考虑两两垂直的三个平面的标准模型（如房间墙角），判定其是否必平行。
2. 分析命题②：根据面面平行的判定定理，检查两条平行于平面的直线是否要求“相交”这一核心前提。
3. 分析命题③：由面面平行的定义出发，说明面内直线与另一平面无交点，从而判定平行关系。
4. 分析命题④：利用线面平行的性质定理，分别推导 $l\parallel m$ 和 $l\parallel n$，再利用平行传导性判定 $m\parallel n$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：逐一分析四个命题：

对于①：若 $\alpha \perp \gamma ,\beta \perp \gamma$，平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 可以相交。例如，教室内相邻的两面墙都垂直于地面，但这两面墙相互垂直。故①为假命题。

对于②：若 $m\subset \alpha ,n\subset \alpha$ 且 $m\parallel n$，当 $m\parallel \beta$ 时必有 $n\parallel \beta$，此时平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 可以相交（交线平行于 $m$ 和 $n$）。只有当 $m,n$ 相交时，结论才成立。故②为假命题。

对于③：因为 $\alpha \parallel \beta$，所以平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 没有公共点。又因为 $l\subset \alpha$，所以直线 $l$ 与平面 $\beta$ 也没有公共点。根据线面平行的定义，必有 $l\parallel \beta$。故③为真命题。

对于④：因为 $\alpha \cap \beta =l$，所以 $l\subset \alpha$ 且 $l\subset \beta$。 因为 $l\parallel \gamma$ 且 $l\subset \beta$， $\beta \cap \gamma =m$，由线面平行的性质定理可得 $l\parallel m$； 同理，因为 $l\parallel \gamma$ 且 $l\subset \alpha$， $\alpha \cap \gamma =n$，可得 $l\parallel n$。 因为 $l\parallel m$ 且 $l\parallel n$，根据空间平行直线的传递性，必有 $m\parallel n$。故④为真命题。

综上所述，真命题有③和④，共 2 个。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：面面平行的判定定理必须具备“两相交直线”这一约束；线面平行的性质定理中“过已知直线的平面与已知平面的交线平行于该直线”的转化。
2. 核心方法：模型反例法。在应对垂直、平行这类多命题选择题时，利用正方体或长方体的棱与面作为背景模型，可以快速筛选和排除错误命题。
3. 避坑指南：命题②是经典陷阱题，考生常因忽视“相交”二字而盲目套用面面平行判定定理导致误判；命题④需理清三个平面的两两交线拓扑结构（三线共点或三线两两平行）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中立体几何立体定理网络构建的经典辨析题，将线面平行、面面平行、线线平行的转化串联在一起，全面考查空间位置关系的判定。
2. 结论推广：命题④对应的几何原理是高维几何中的**“三棱柱面定理”**（或称“三面定理”）：若三个平面两两相交，则它们的交线要么两两平行，要么交于同一点。本题中由于已知 $l\parallel \gamma$，排除了三线共点的情形，因而三条交线必两两平行。

🔗【关联脉络】

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• 13.03 空间点、线、面位置关系

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