2005-江苏卷-07 单-样本平均数的计算

本题导读

本题考查初等统计中平均数与方差的计算。核心意图是理解去除极端数据（最高分与最低分）对样本特征的影响，并准确进行数字运算。

📌【题干】

Question

（2005年江苏卷） 在一个歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4, 8.4, 9.4, 9.9, 9.6, 9.4, 9.7. 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为()

A. 9.4, 0.484　　B. 9.4, 0.016　　C. 9.5, 0.04　　D. 9.5, 0.016

🔍【思路分析】

破题导航

1. 数据筛选：将原始数据按大小排序，剔除最大值 $9.9$ 和最小值 $8.4$，确定所剩的 5 个数据。
2. 求平均值：利用平均数公式 $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum x_i$ 计算所剩数据的平均数。
3. 求方差：利用方差公式 $s^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x}{)}^2$ 计算离散程度。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

将 7 位评委打出的分数从小到大排序为： 8.4, 9.4, 9.4, 9.4, 9.6, 9.7, 9.9。 去掉一个最低分 $8.4$ 和一个最高分 $9.9$ 后，所剩的 5 个数据为： 9.4, 9.4, 9.4, 9.6, 9.7。

所剩数据的平均值为： $\bar{x}=\frac{9.4\times 3+9.6+9.7}{5}=\frac{28.2+19.3}{5}=\frac{47.5}{5}=9.5$

所剩数据的方差为： $s^2=\frac{1}{5}\left[3\times (9.4-9.5{)}^2+(9.6-9.5{)}^2+(9.7-9.5{)}^2\right]$ $s^2=\frac{1}{5}\left[3\times (-0.1{)}^2+0.1^2+0.2^2\right]$ $s^2=\frac{1}{5}(0.03+0.01+0.04)=\frac{0.08}{5}=0.016$ 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：算术平均数与样本方差公式的代数应用。
2. 核心方法：先排序后截断。通过有序排列确保剔除的极值准确无误。
3. 避坑指南：方差计算时容易混淆分母 $n$ 的取值。去除 2 个数据后，样本容量 $n$ 已由 7 变更为 5，求平均值和方差时分母必须代入 5，谨防错代入 7。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自初高中衔接阶段概率与统计初步的经典实际应用问题，常用于展示统计学中“传统修剪平均数（Trimmed Mean）”在规避极端裁判偏见中的实用价值。
2. 结论推广：若一组数据中有 $m$ 个重复的常数 $k$，在计算方差时，这 $m$ 个数据产生的方差贡献项可写为 $m(k-\bar{x}{)}^2$ 进行整体合并，从而减少逐项相减的运算量。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.01 随机抽样、平均数与方差

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