2005-广东卷-13 填-二项式展开式特定项系数的

本题导读

本题考查二项式展开式特定项系数的精准提取，以及通项公式代入法。

📌【题干】

Question

（2005年广东卷） 13. 已知 $(x\cos \theta +1{)}^5$ 的展开式中 $x^2$ 的系数与 ${\left(x+\frac{5}{4}\right)}^4$ 的展开式中 $x^3$ 的系数相等，则 $\cos \theta =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求左侧 $x^2$ 的系数：写出 $(x\cos \theta +1{)}^5$ 的通项公式 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_5^r(x\cos \theta {)}^{5-r}$，令 $x$ 的指数为 2，求出对应的系数表达式。
2. 求右侧 $x^3$ 的系数：写出 ${\left(x+\frac{5}{4}\right)}^4$ 的通项公式 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_4^k{x}^{4-k}{\left(\frac{5}{4}\right)}^k$，令 $x$ 的指数为 3，求出对应的系数。
3. 联立求解：令两系数相等，建立关于 $\cos \theta$ 的一元二次方程，求解即可。

✅【答案】

Success

$\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：计算 $(x\cos \theta +1{)}^5$ 展开式中 $x^2$ 的系数 二项式 $(x\cos \theta +1{)}^5$ 的通项公式为： $T_{r+1}={\mathrm{C}}_5^r(x\cos \theta {)}^{5-r}\cdot 1^r={\mathrm{C}}_5^r{\cos }^{5-r}\theta \cdot x^{5-r}$ 令 $5-r=2⟹r=3$，代入可得 $x^2$ 项的系数为： ${\mathrm{C}}_5^3{\cos }^2\theta =10{\cos }^2\theta$

• 第二步：计算 ${\left(x+\frac{5}{4}\right)}^4$ 展开式中 $x^3$ 的系数 二项式 ${\left(x+\frac{5}{4}\right)}^4$ 的通项公式为： $T_{k+1}={\mathrm{C}}_4^k{x}^{4-k}\cdot {\left(\frac{5}{4}\right)}^k$ 令 $4-k=3⟹k=1$，代入可得 $x^3$ 项的系数为： ${\mathrm{C}}_4^1\cdot {\left(\frac{5}{4}\right)}^1=4\times \frac{5}{4}=5$

• 第三步：由系数相等列方程求解 根据题意，两个系数相等，可得： $10{\cos }^2\theta =5$ ${\cos }^2\theta =\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$ 开方解得： $\cos \theta =\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

答案为 $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开式特定项系数的精准提取。
2. 避坑指南：

• 提取左侧系数时，切勿漏掉 $\cos \theta$ 上的平方次幂。 $x^2$ 项中，包含 $x$ 的部分是 $(x\cos \theta {)}^2$，因此其系数不仅有组合数 ${\mathrm{C}}_5^3$，还必须包含 ${\cos }^2\theta$。
• 开方求值时切勿漏掉负根。由 ${\cos }^2\theta =\frac{1}{2}$ 开方出来的结果有正负两个值。由于题干并未限制 $\theta$ 的象限或取值范围，且 $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ 均在余弦函数的值域范围 $[-1,1]$ 内，故两个符号均合理，漏掉负号将导致丢分。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：改变展开式中的指数或求常数项、指定项系数，检验通项公式 $T_{r+1}$ 的代入与化简。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

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