2005-广东卷-11 填-函数定义域的求法

本题导读

本题考查分母与偶次根式复合时的不等式约束，以及底数大于 1 的指数不等式解法。

📌【题干】

Question

（2005年广东卷） 11. 函数 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-{\mathrm{e}}^x}}$ 的定义域是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定代数约束条件：函数解析式包含分式和二次根式。

• 根据根式有意义的条件，被开方数必须非负，即 $1-{\mathrm{e}}^x⩾0$；
• 根据分式有意义的条件，分母不能为 0，即 $\sqrt{1-{\mathrm{e}}^x}\ne 0⟹1-{\mathrm{e}}^x\ne 0$。

2. 合并约束不等式：将上述两点结合，可得根号在分母位置时的充要条件为被开方数严格大于 0，即 $1-{\mathrm{e}}^x>0$。
3. 求解指数不等式：将不等式变形为 ${\mathrm{e}}^x<1$，利用自然对数底数的单调性解出 $x$ 的范围，写成集合或区间形式。

✅【答案】

Success

$(-\infty ,0)$ 或 $\{x\mid x<0\}$

✍【详细解析】

Abstract

解： 要使函数 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-{\mathrm{e}}^x}}$ 有意义，必须且只需满足分母下的被开方数严格大于 0： $1-{\mathrm{e}}^x>0$

移项得： ${\mathrm{e}}^x<1$

将常数 1 化为以 $\mathrm{e}$ 为底的指数形式： ${\mathrm{e}}^x<{\mathrm{e}}^0$

$\because$ 底数 $\mathrm{e}\approx 2.718>1$， $\therefore$ 指数函数 $y={\mathrm{e}}^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增。 根据单调性性质，由 ${\mathrm{e}}^x<{\mathrm{e}}^0$ 可直接去掉底数，保持不等号方向不变： $x<0$

因此，函数的定义域用区间表示为 $(-\infty ,0)$，用集合表示为 $\{x\mid x<0\}$。

答案为 $(-\infty ,0)$ 或 $\{x\mid x<0\}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分母与偶次根式复合时的不等式约束、底数大于 1 的指数不等式解法。
2. 避坑指南：

• 切勿将大于号错写成大于等于号。如果是纯根式 $y=\sqrt{1-{\mathrm{e}}^x}$，定义域为 $1-{\mathrm{e}}^x⩾0⟹x⩽0$。但由于本题中根式位于分母，分母不能为 0，所以 $1-{\mathrm{e}}^x=0$ 必须排除，即不能包含 $x=0$ 这个边界点。区间必须是开区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：改变系数或条件，用均值、柯西或绝对值不等式求最值，注意等号成立条件的验证。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)