2005-广东卷-09 单-反函数的概念与性质

本题导读

本题考查分段函数的方程确定与平移变换，以及分段函数求反函数。

📌【题干】

Question

（2005年广东卷） 9. 在同一平面直角坐标系中，函数 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称. 现将 $y=g(x)$ 的图象沿 $x$ 轴向左平移 2 个单位，再沿 $y$ 轴向上平移 1 个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线 (如图所示)，则函数 $f(x)$ 的表达式为

()

A. $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x+2,& -1⩽x⩽0\\ \frac{x}{2}+2,& 0<x⩽2\end{array}$

B. $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x-2,& -1⩽x⩽0\\ \frac{x}{2}-2,& 0<x⩽2\end{array}$

C. $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x-2,& 1⩽x⩽2\\ \frac{x}{2}+1,& 2<x⩽4\end{array}$

D. $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x-6,& 1⩽x⩽2\\ \frac{x}{2}-3,& 2<x⩽4\end{array}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出最终折线图象的函数表达式 $h(x)$：由图象可知折线经过点 $(-2,0)$, $(0,1)$, $(1,3)$，分别求出两段线段对应的分段函数解析式。
2. 逆推 $g(x)$ 的图象：将最终图象沿平移的逆方向变换（向右平移 2 个单位，向下平移 1 个单位），得到 $g(x)$ 的表达式。
3. 根据对称性求 $f(x)$： $\because f(x)$ 与 $g(x)$ 关于 $y=x$ 对称， $\therefore f(x)$ 为 $g(x)$ 的反函数。对 $g(x)$ 的分段表达式进行反解，即可求得 $f(x)$。

✅【答案】

Success

最终得到的函数解析式为：$h(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}x+1,& -2⩽x⩽0\\ 2x+1,& 0<x⩽1\end{array}$* **第二步：利用图象平移变换逆推 $g(x)

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：确定最终变换后的折线函数 $y=h(x)$ 由图可知，折线由两部分组成，过点 $A(-2,0)$， $B(0,1)$， $C(1,3)$。
• 当 $-2⩽x⩽0$ 时，直线过 $(-2,0)$ 和 $(0,1)$，斜率 $k_1=\frac{1-0}{0-(-2)}=\frac{1}{2}$，方程为： $y=\frac{1}{2}x+1$；
• 当 $0<x⩽1$ 时，直线过 $(0,1)$ 和 $(1,3)$，斜率 $k_2=\frac{3-1}{1-0}=2$，方程为： $y=2x+1$。

综上，最终得到的函数解析式为： $h(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}x+1,& -2⩽x⩽0\\ 2x+1,& 0<x⩽1\end{array}$

• 第二步：利用图象平移变换逆推 $g(x)$ 已知 $g(x)$ 的图象向左平移 2 个单位，向上平移 1 个单位得到 $h(x)$。 根据“左加右减，上加下减”的平移规律，有 $h(x)=g(x+2)+1$，则： $g(x)=h(x-2)-1$ 将 $x-2$ 代入 $h(x)$ 并在每一段后面减 1（自变量定义域范围也相应调整）： $g(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}(x-2)+1-1,& -2⩽x-2⩽0\\ 2(x-2)+1-1,& 0<x-2⩽1\end{array}$ 化简得： $g(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}x-1,& 0⩽x⩽2\\ 2x-4,& 2<x⩽3\end{array}$

• 第三步：求 $g(x)$ 的反函数 $f(x)$ $\because f(x)$ 和 $g(x)$ 的图象关于 $y=x$ 对称， $\dots f(x)=g^{-1}(x)$。 分别对 $g(x)$ 的两段解析式进行反解：

1. 第一段：令 $y=\frac{1}{2}x-1⟹\frac{1}{2}x=y+1⟹x=2y+2$。 $\because 0⩽x⩽2⟹0⩽2y+2⩽2⟹-1⩽y⩽0$。 对调自变量得： $f(x)=2x+2(-1⩽x⩽0)$。
2. 第二段：令 $y=2x-4⟹2x=y+4⟹x=\frac{y}{2}+2$。 $\in 2<x⩽3⟹2<\frac{y}{2}+2⩽3⟹0<\frac{y}{2}⩽1⟹0<y⩽2$。 对调自变量得： $f(x)=\frac{x}{2}+2(0<x⩽2)$。

组合得到 $f(x)$ 的分段表达式为： $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x+2,& -1⩽x⩽0\\ \frac{x}{2}+2,& 0<x⩽2\end{array}$

故 (A) 选项正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段线段的方程确定、函数左加右减平移变换、分段函数求反函数（含定义域与值域对应转换）。
2. 避坑指南：

• 求反函数时切勿漏掉每段的值域转换。反函数的定义域等于原函数的值域。在第三步中，必须把原区间 $0⩽x⩽2$ 通过 $y=\frac{1}{2}x-1$ 精确映射为 $y$ 的区间 $[-1,0]$，这就是反函数新段的定义域范围。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将圆的方程或直线条件改变，用几何法（垂径定理、切线性质）简化运算，避免盲目联立。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)