2005-广东卷-08 单-古典概型及其概率计算公式

本题导读

本题主要考查古典概型的概率计算以及对数方程的化简。首先通过对数的基本性质将条件方程 ${\log }_{2X}Y=1$ 转化为普通的代数关系式，然后确定抛掷两枚骰子产生的基本事件总数，再找出其中满足转化后代数关系式的事件数，最后利用概率公式求解。

📌【题干】

Question

（2005年广东卷） 8. 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子 (它们的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为 $X、Y$，则 ${\log }_{2X}Y=1$ 的概率为 ()

A. $\frac{1}{6}$　　　　　　B. $\frac{5}{36}$　　　　　　C. $\frac{1}{12}$　　　　　　D. $\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简对数条件方程：根据对数的定义， ${\log }_{a}b=1⟺b=a$。所以条件 ${\log }_{2X}Y=1$ 可以直接转化为等式 $Y=2X$。同时需注意对数底数的隐含限制条件 $2X>0$ 且 $2X\ne 1$。
2. 计算基本事件总数：先后抛掷两枚骰子，每次结果有 6 种可能，根据分步乘法计数原理，总的基本事件数为 $6\times 6=36$ 种。
3. 筛选符合条件的事件数：根据 $Y=2X$，由于 $X,Y$ 的取值范围均为 $\{1,2,3,4,5,6\}$，通过将 $X$ 从 1 到 6 依次代入，找出满足条件的 $(X,Y)$ 整数解对的个数。
4. 求出概率值：用符合条件的事件数除以总事件数即可。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：化简条件方程 由对数方程 ${\log }_{2X}Y=1$ 的性质可得： $Y=(2X{)}^1⟹Y=2X$ 同时，根据对数有意义的条件，底数 $2X>0$ 且 $2X\ne 1⟹X>0$ 且 $X\ne \frac{1}{2}$。 由于 $X\in \{1,2,3,4,5,6\}$，该底数限制条件恒成立。 因此，本题转化为：求满足 $Y=2X$ 的古典概型概率。

• 第二步：计算所有的基本事件总数 $N$ 先后抛掷两枚均匀的骰子，朝上的面点数 $(X,Y)$ 的所有可能结果构成一个全集： 每个骰子都有 6 种可能点数，总事件数为： $N=6\times 6=36\text{ 种}$

• 第三步：筛选满足 $Y=2X$ 的基本事件数 $n$ $\because X,Y\in \{1,2,3,4,5,6\}$，我们可以对 $X$ 的取值进行分类讨论：

• 当 $X=1$ 时， $Y=2\times 1=2$，此时满足条件，组合为 $(1,2)$；

• 当 $X=2$ 时， $Y=2\times 2=4$，此时满足条件，组合为 $(2,4)$；

• 当 $X=3$ 时， $Y=2\times 3=6$，此时满足条件，组合为 $(3,6)$；

• 当 $X=4$ 时， $Y=2\times 4=8>6$，超出骰子点数范围，舍去；

• 同理，当 $X=5,6$ 时， $Y$ 均大于 6，均舍去。

综上所述，满足条件的基本事件共有 3 种，即： $\{(1,2),(2,4),(3,6)\}$

• 第四步：计算古典概型的概率 根据古典概型概率计算公式，所求概率为： $P=\frac{n}{N}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$

故 (C) 选项正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数方程转化为代数整式、古典概型基本事件空间穷举筛选。
2. 核心方法：转化与化归法、列表穷举法。
3. 避坑指南：

• 不要混淆先后抛掷与同时抛掷的次序。题目强调“先后抛掷”，说明 $(1,2)$ 与 $(2,1)$ 是两种不同的基本事件，总数是 36。如果是同时抛掷不计次序，基本事件数会发生变化。
• 注意骰子的最大点数限制。在代入 $X=4,5,6$ 时，虽然代数运算能得到 $Y=8,10,12$，但骰子没有这些点数，必须严格剔除。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自 2005 年广东高考数学第 8 题，是把对数基础运算和概率论初级模型（古典概型）进行跨章节融合的经典小综合题。
2. 结论推广：设有两枚标有点数 $1\sim m$ 的均匀正多面体骰子，其点数分别为 $X,Y$。若要求满足 ${\log }_{kX}Y=1$ 的概率，其分子即为满足 $Y=kX$ 且 $Y⩽m$ 的正整数对的个数，即 $\lfloor \frac{m}{k}\rfloor$。总样本空间为 $m^2$，故概率公式通式为 $P=\frac{\lfloor \frac{m}{k}\rfloor }{m^2}$。本题中 $m=6,k=2$，代入可得 $P=\frac{\lfloor 3\rfloor }{36}=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)