2005-广东卷-07 单-异面直线的判定

本题导读

本题主要考查空间中点、线、面的位置关系及其逻辑命题的真假判定。需要熟练掌握空间异面直线的判定定理、线面及面面平行与垂直的判定定理与性质定理，并具备通过空间特殊几何体（如长方体）构造反例来排除假命题的能力。

📌【题干】

Question

（2005年广东卷） 7. 给出下列关于互不相同的直线 $m、l、n$ 和平面 $\alpha 、\beta$ 的四个命题：

① 若 $m\subset \alpha ,l\cap \alpha =A,A\notin m$，则 $l$ 与 $m$ 不共面；

② 若 $m、l$ 是异面直线， $l\parallel \alpha ,m\parallel \alpha$，且 $n\perp l,n\perp m$，则 $n\perp \alpha$；

③ 若 $l\parallel \alpha ,m\parallel \beta ,\alpha \parallel \beta$，则 $l\parallel m$；

④ 若 $l\subset \alpha ,m\subset \alpha ,l\cap m=A,l\parallel \beta ,m\parallel \beta$，则 $\alpha \parallel \beta$. 其中为假命题的是 ()

A. ①　　　　　　　B. ②　　　　　　　C. ③　　　　　　　D. ④

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析命题①：根据异面直线的判定定理（若一条直线在平面内，另一条直线与这个平面相交于一点，且交点不在平面内的直线上，则这两条直线是异面直线，即不共面），判定其真假。
2. 分析命题②：由 $l\parallel \alpha ,m\parallel \alpha$ 知 $l,m$ 均平行于 $\alpha$ 内的直线。若 $n\perp l,n\perp m$，由于 $l,m$ 是异面直线，其方向向量可以张成一个与 $\alpha$ 平行的平面，根据线面垂直的性质与判定，验证 $n\perp \alpha$ 是否必然成立。
3. 分析命题③：利用长方体模型构造反例。若 $l,m$ 位于相互平行的两个平面内且各自平行于平面，它们可以处于异面、平行或相交的不同空间方位。
4. 分析命题④：根据面面平行的判定定理（一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行），判定其真假。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：分析命题①的真假性 命题内容：若 $m\subset \alpha ,l\cap \alpha =A,A\notin m$，则 $l$ 与 $m$ 不共面。 这是经典的异面直线判定定理（线面交点定理）。 假设 $l$ 与 $m$ 共面，设它们确定平面 $\gamma$，则交点 $A\in l⟹A\in \gamma$，且直线 $m\subset \gamma$。 因为 $A\notin m$，所以点 $A$ 与直线 $m$ 确定唯一平面 $\alpha$。从而可推出 $\gamma$ 与 $\alpha$ 重合，即 $l\subset \alpha$，这与已知 $l\cap \alpha =A$（相交）矛盾。 因此， $l$ 与 $m$ 必定不共面（即异面直线）。该命题为真命题。

• 第二步：分析命题②的真假性 命题内容：若 $m、l$ 是异面直线， $l\parallel \alpha ,m\parallel \alpha$，且 $n\perp l,n\perp m$，则 $n\perp \alpha$。 $\because l\parallel \alpha ,m\parallel \alpha$，可以通过平移将 $l,m$ 的方向向量平移至平面 $\alpha$ 内，设平移后在 $\alpha$ 内对应的相交直线分别为 $l^{\prime },m^{\prime }$。 $\because n\perp l,n\perp m⟹n\perp l^{\prime },n\perp m^{\prime }$。 $\because l,m$ 是异面直线，所以它们的方向向量不共线，即平移后的 $l^{\prime },m^{\prime }$ 是平面 $\alpha$ 内的两条相交直线。 根据线面垂直的判定定理，一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则该直线垂直于这个平面。 因此必然有 $n\perp \alpha$。该命题为真命题。

• 第三步：分析命题③的真假性 命题内容：若 $l\parallel \alpha ,m\parallel \beta ,\alpha \parallel \beta$，则 $l\parallel m$。 可以通过长方体模型构造反例： 在长方体 $ABCD-A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ 中： 设底面 $ABCD$ 为平面 $\alpha$，顶面 $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ 为平面 $\beta$，显然 $\alpha \parallel \beta$。 令直线 $l$ 为顶面上的侧棱 $A^{\prime }{B}^{\prime }$，显然 $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel \text{底面 }ABCD$，即 $l\parallel \alpha$。 令直线 $m$ 为顶面上的另一条与之相交的侧棱 $B^{\prime }{C}^{\prime }$，显然 $B^{\prime }{C}^{\prime }\subset \beta ⟹B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel \beta$（由线面平行或包含的广义方位）。 此时，直线 $l(A^{\prime }{B}^{\prime })$ 与直线 $m(B^{\prime }{C}^{\prime })$ 在同一个平面 $\beta$ 内且相交，并不平行（ $l\nparallel m$ ）。 因此，命题③不必然成立，为假命题。

• 第四步：分析命题④的真假性 命题内容：若 $l\subset \alpha ,m\subset \alpha ,l\cap m=A,l\parallel \beta ,m\parallel \beta$，则 $\alpha \parallel \beta$。 这是标准的面面平行判定定理：一个平面 $\alpha$ 内有两条相交直线 $l,m$ 分别平行于另一个平面 $\beta$，则这两个平面平行。该命题为真命题。

综上所述，假命题为③。

故 (C) 选项正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面平行与垂直判定定理的严密逻辑、面面平行判定定理的“相交”要素。
2. 核心方法：长方体空间结构反例排除法。
3. 避坑指南：

• 审题时务必看清题目要求的是寻找“假命题”。部分考生习惯了选择真命题，在看到①或②正确时容易直接误选。
• 对命题③的线面平行方位容易产生思维定势。误以为平行于两个相互平行的平面的直线也必然相互平行。请记住，空间中平行于同一个平面的两条直线可以平行、相交或异面。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自 2005 年广东高考数学第 7 题，是一道极其经典的立体几何小题，旨在考查对三维空间几何逻辑定理的细节把控。
2. 结论推广：在空间中，已知平面 $\alpha \parallel \beta$，若直线 $l\parallel \alpha ,m\parallel \beta$，则直线 $l$ 与 $m$ 的空间位置关系一共有三种可能：平行、相交或异面。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

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