2005-广东卷-06 单-导数的四则运算法则

本题导读

本题主要考查导数在研究函数单调性中的实际应用。由于函数 $f(x)$ 是一个三次多项式函数，要求其为减函数的区间，只需对其求导得到导函数 $f^{\prime }(x)$，然后通过求解不等式 $f^{\prime }(x)⩽0$（或在离散点处 $f^{\prime }(x)<0$）来确定对应的区间。

📌【题干】

Question

（2005年广东卷） 6. 函数 $f(x)=x^3-3x^2+1$ 是减函数的区间为 ()

A. $(2,+\infty )$　　　　B. $(-\infty ,2)$　　　　C. $(-\infty ,0)$　　　　D. $(0,2)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求导数：利用多项式求导公式 $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$，求出函数 $f(x)$ 的导函数 $f^{\prime }(x)$。
2. 列出单调递减条件：根据“在某个区间内，若导数小于 0，则函数在该区间内单调递减”的原理，令 $f^{\prime }(x)<0$（或 $f^{\prime }(x)⩽0$）。
3. 解不等式：求解得到的一元二次不等式，其解集对应的开区间即为所求的单调递减区间。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：求出函数 $f(x)$ 的导函数 已知函数 $f(x)=x^3-3x^2+1$，对自变量 $x$ 求导数得： $f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }-(3x^2{)}^{\prime }+(1{)}^{\prime }$ $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$

• 第二步：建立导数小于 0 的不等式 要求函数 $f(x)$ 是减函数的区间，只需令导函数小于 0： $3x^2-6x<0$

• 第三步：求解不等式确定区间 将二次项系数提取并进行因式分解： $3x(x-2)<0$

由“两根之间取负号”的一元二次不等式解法规律，方程 $3x(x-2)=0$ 的两个根为 $x_1=0,x_2=2$。 因此，不等式的解集为： $0<x<2$

即函数 $f(x)$ 的单调递减区间为 $(0,2)$。

故 (D) 选项正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数正负与函数单调性（增减性）的对应关系、一元二次不等式根的排布。
2. 核心方法：导数判定法。
3. 避坑指南：

• 切勿混淆导数符号与函数增减性的对应关系。导数 $f^{\prime }(x)>0$ 对应函数单调递增， $f^{\prime }(x)<0$ 对应函数单调递减。错把减函数当成增函数去解 $f^{\prime }(x)>0$ 会导致误选 A 或 C 的组合。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自 2005 年广东高考数学第 6 题，是新课标引入导数工具后，考查利用导数处理一元多项式性质极具代表性的入门基础题。
2. 结论推广：对于一般的最高次项系数为正的三次函数 $f(x)=x^3+B{x}^2+Cx+D$，其导函数为 $f^{\prime }(x)=3x^2+2Bx+C$。若其极值判别式 $\Delta =4B^2-12C>0$，则该函数有且仅有一个单调递减区间，且该区间恰好为导函数两根之间的夹区间 $(x_1,x_2)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)