2005-广东卷-02 单-复数的代数形式及其四则运算

本题导读

本题主要考查复数的代数形式运算和复数相等的充要条件。首先通过复数的乘法将等式左边展开并化简为标准形式 $x+y\mathrm{i}$，然后根据两个复数相等的定义，分别令实部与实部相等、虚部与虚部相等，求出实数 $a,b$ 的值，最后计算 $a^2+b^2$。

📌【题干】

Question

（2005年广东卷） 2. 若 $(a-2\mathrm{i})\mathrm{i}=b-\mathrm{i}$，其中 $a、b\in \mathbf{R}$， $\mathrm{i}$ 是虚数单位，则 $a^2+b^2=$ ()

A. 0　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. $\frac{5}{2}$　　　　　　　D. 5

🔍【思路分析】

破题导航

1. 左边代数式展开：利用乘法分配律将 $(a-2\mathrm{i})\mathrm{i}$ 展开，得到 $a\mathrm{i}-2{\mathrm{i}}^2$。
2. 化简为标准形式：利用 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 的性质，将等式左边整理成实部在前、虚部在后的标准复数形式 $2+a\mathrm{i}$。
3. 建立方程组求参数：根据复数相等的条件（实部等于实部，虚部等于虚部），令左边的实部等于右边的实部，左边的虚部等于右边的虚部，从而求出 $a$ 和 $b$ 的值。
4. 计算最终目标：将求得的 $a,b$ 代入 $a^2+b^2$ 得到结果。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：化简等式左边的复数 将等式左边按复数乘法法则展开： $(a-2\mathrm{i})\mathrm{i}=a\mathrm{i}-2{\mathrm{i}}^2$ $\because {\mathrm{i}}^2=-1$， $\therefore a\mathrm{i}-2(-1)=2+a\mathrm{i}$ 原方程可化为： $2+a\mathrm{i}=b-\mathrm{i}$

• 第二步：根据复数相等建立方程组 $\because a,b\in \mathbf{R}$， 根据两个复数相等的充要条件（对应实部相等，虚部相等），可得： $\{\begin{array}{l}b=2\\ a=-1\end{array}$

• 第三步：求目标代数式的值 将 $a=-1,b=2$ 代入目标式 $a^2+b^2$ 中： $a^2+b^2=(-1{)}^2+2^2=1+4=5$

故 (D) 选项正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：虚数单位性质 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 的应用、两复数相等对应两组实数方程。
2. 核心方法：实虚部分离对比法。
3. 避坑指南：

• 展开时切勿弄错 ${\mathrm{i}}^2$ 带来的符号变化。 $-2\mathrm{i}\cdot \mathrm{i}=-2{\mathrm{i}}^2=-2\times (-1)=+2$。由于粗心容易将符号看错，从而导致实部系数算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自 2005 年广东高考数学第 2 题，考查复数相等和代数混合运算的基本功，属于低难度送分题。
2. 结论推广：已知两个复数形式相等的代数恒等式 $f(a,b)+g(a,b)\mathrm{i}=m+n\mathrm{i}$（其中相关参数均为实数），其本质等价于一个二元方程组 $\{\begin{array}{l}f(a,b)=m\\ g(a,b)=n\end{array}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

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