2005-广东卷-01 单-绝对值不等式的解法

本题导读

本题主要考查集合的交集运算。首先分别解出绝对值不等式得到集合 $M$，解出一元二次方程得到集合 $N$，然后找出同时属于集合 $M$ 和 $N$ 的公共元素。

📌【题干】

Question

（2005年广东卷）

1. 若集合 $M=\{x\mid |x|⩽2\}$， $N=\{x\mid x^2-3x=0\}$，则 $M\cap N=$ ()

A. $\{3\}$　　　　　　B. $\{0\}$　　　　　　C. $\{0,2\}$　　　　　　D. $\{0,3\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求解集合 $M$：解绝对值不等式 $|x|⩽2$，将其转化为连续不等式 $-2⩽x⩽2$。
2. 求解集合 $N$：对一元二次方程 $x^2-3x=0$ 进行因式分解，求出两根。
3. 求交集 $M\cap N$：寻找同时满足上述两个集合条件的公共元素。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：化简集合 $M$ 由 $|x|⩽2$ 解得： $-2⩽x⩽2$ 故集合 $M=\{x\mid -2⩽x⩽2\}$。

• 第二步：化简集合 $N$ 由 $x^2-3x=0$ 可因式分解为： $x(x-3)=0$ 解得 $x=0$ 或 $x=3$。 故集合 $N=\{0,3\}$。

• 第三步：求交集 $M\cap N$ 比较两个集合： 集合 $M$ 包含闭区间 $[-2,2]$ 上的所有实数。 集合 $N$ 仅包含孤立的点 0 和 3。 $\because 0\in [-2,2]$ 且 $3\notin [-2,2]$， $\therefore M\cap N=\{0\}$

故 (B) 选项正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值不等式基础区间解法、集合交集概念。
2. 核心方法：公共元素提取法。
3. 避坑指南：

• 注意区间集合与离散点集交集的筛选。解出方程根后，必须将每一个根代入到集合 $M$ 的区间限制中进行验证。由于 3 大于 2，不满足 $M$ 的范围，必须舍去，不可粗心错选 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自 2005 年广东高考数学第 1 题，属于考查高中数学开篇基础工具概念的常规基础题。
2. 结论推广：对于一个连续闭区间集合 $M=[a,b]$ 与一个离散元素集合 $N=\{x_1,x_2,\cdots ,x_k\}$ 的交集运算，结果为离散点集中所有落在闭区间 $[a,b]$ 内的元素组成的子集。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)