2005-山东卷理-22 解-抛物线的定义与标准方程

本题导读

本题考查平面解析几何中圆锥曲线的轨迹方程定义、直线过定点的代数算法。核心在于变量整体代换消元法。

📌【题干】

Question

（2005年山东卷(理)） 已知动圆过定点 $\left(\frac{p}{2},0\right)$，且与直线 $x=-\frac{p}{2}$ 相切，其中 $p>0$.

(1)求动圆圆心 $C$ 的轨迹的方程；

(2)设 $A、B$ 是轨迹 $C$ 上异于原点 $O$ 的两个不同点，直线 $OA$ 和 $OB$ 的倾斜角分别为 $\alpha$ 和 $\beta$，当 $\alpha ,\beta$ 变化且 $\alpha +\beta$ 为定值 $\theta$ ($0<\theta <\pi$) 时，证明直线 $A_{1}B$（应为 $AB$）恒过定点，并求出该定点的坐标.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：根据动圆圆心到定点的距离等于到定直线的距离（由于圆过定点且与直线相切，圆心到定点的距离和到切线的距离均等于半径），由抛物线的几何定义可知其轨迹为抛物线，直接写出标准方程。
2. 第二问：设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，由倾斜角关系可知 $k_{OA}=\tan \alpha ,k_{OB}=\tan \beta$。利用 $\alpha +\beta =\theta$ 展开正切公式，转换为关于斜率 $k_{OA},k_{OB}$ 的代数恒等式。联立直线 $AB$ 与抛物线方程，利用韦达定理和斜率公式寻找直线 $AB$ 方程中各项系数的比例特征，从而求出定点。

✅【答案】

Success

直线 $AB$ 恒过定点，该定点的坐标为 $(-2p,2p\cot \theta )$

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）设动圆圆心为 $C$，由题意知，圆心 $C$ 到定点 $F\left(\frac{p}{2},0\right)$ 的距离等于动圆的半径 $R$。 同时，动圆与定直线 $x=-\frac{p}{2}$ 相切，说明圆心 $C$ 到定直线的距离也等于半径 $R$。 因此，动圆圆心 $C$ 到定点 $\left(\frac{p}{2},0\right)$ 的距离等于它到定直线 $x=-\frac{p}{2}$ 的距离。 根据抛物线的定义，圆心 $C$ 的轨迹是以 $\left(\frac{p}{2},0\right)$ 为焦点，直线 $x=-\frac{p}{2}$ 为准线的抛物线。 由于 $p>0$，其轨迹方程为： $y^2=2px(x>0)$

（2）设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，由 $A,B$ 在抛物线上，可设 $A\left(\frac{y_1^2}{2p},y_1\right),B\left(\frac{y_2^2}{2p},y_2\right)$，其中 $y_1\ne 0,y_2\ne 0,y_1\ne y_2$。 则直线 $OA,OB$ 的斜率分别为： $k_{OA}=\frac{y_1}{x_1}=\frac{2p}{y_1}=\tan \alpha$ $k_{OB}=\frac{y_2}{x_2}=\frac{2p}{y_2}=\tan \beta$

因为 $\alpha +\beta =\theta$ 为定值，且 $0<\theta <\pi$， 所以当 $\theta \ne \frac{\pi }{2}$ 时，有： $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }=\tan \theta$

将 $\tan \alpha =\frac{2p}{y_1},\tan \beta =\frac{2p}{y_2}$ 代入上式得： $\frac{\frac{2p}{y_1}+\frac{2p}{y_2}}{1-\frac{4p^2}{y_1{y}_2}}=\tan \theta ⟹\frac{2p(y_1+y_2)}{y_1{y}_2-4p^2}=\tan \theta$ $⟹y_1{y}_2-4p^2=\frac{2p}{\tan \theta }(y_1+y_2)=2p\cot \theta \cdot (y_1+y_2)\text{(1)}$

下面求直线 $AB$ 的方程。直线 $AB$ 的斜率为： $k_{AB}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{y_2-y_1}{\frac{y_2^2-y_1^2}{2p}}=\frac{2p}{y_1+y_2}$ 则直线 $AB$ 的方程可写为： $y-y_1=\frac{2p}{y_1+y_2}\left(x-\frac{y_1^2}{2p}\right)$ 两边同乘以 $(y_1+y_2)$ 展开化简： $(y_1+y_2)y-y_1^2-y_1{y}_2=2px-y_1^2⟹2px-(y_1+y_2)y+y_1{y}_2=0$

将①式中的 $y_1{y}_2=2p\cot \theta \cdot (y_1+y_2)+4p^2$ 代入直线 $AB$ 的方程中： $2px-(y_1+y_2)y+2p\cot \theta \cdot (y_1+y_2)+4p^2=0$ 可以将关于弹性变量 $(y_1+y_2)$ 的项归类合并： $(2px+4p^2)-(y_1+y_2)(y-2p\cot \theta )=0$

要使上述方程对任意满足条件的 $(y_1+y_2)$ 恒成立，只需令各项系数对应为 0： $\{\begin{array}{l}2px+4p^2=0\\ y-2p\cot \theta =0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=-2p\\ y=2p\cot \theta \end{array}$

当 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 时，$\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}$。 此时 $\tan \alpha \cdot \tan \beta =1⟹\frac{4p^2}{y_1{y}_2}=1⟹y_1{y}_2=4p^2$。 代入直线 $AB$ 的方程 $2px-(y_1+y_2)y+y_1{y}_2=0$ 得： $2px-(y_1+y_2)y+4p^2=0⟹2p(x+2p)-(y_1+y_2)y=0$ 令 $\{\begin{array}{l}x+2p=0\\ y=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=-2p\\ y=0\end{array}$。 此时 $2p\cot \frac{\pi }{2}=0$，结果仍符合上式通用表达。

综上所述，直线 $AB$ 恒过定点，该定点的坐标为 $(-2p,2p\cot \theta )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面解析几何中圆锥曲线的轨迹方程定义、直线过定点的代数算法。
2. 核心方法：变量整体代换法（将 $y_1{y}_2$ 用 $y_1+y_2$ 线性表达后实现消元）。
3. 避坑指南：

• 第二问利用正切和角公式时，务必注意 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 时正切值不存在的边界，需单独列出或在最后补充说明，确保逻辑结构推导的无懈可击。
• 设直线时，采用 $x=f(y)$ 的纵截距式或直接由两点坐标展开，能有效避免对直线 $AB$ 斜率不存在情况的繁琐讨论。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为标准的定角弦过定点模型。这类问题通常通过两倾斜角之和（或差）为定值，借助三角公式过渡到曲线根与系数的关系中去。
2. 结论推广：对于抛物线 $y^2=2px$，若异于原点的两动点 $A,B$ 满足 $k_{OA}$ 与 $k_{OB}$ 的某种特定非线性代数关联，则其通性结论是连线 $AB$ 必然在对称轴侧或准线外侧形成一个确定的定点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)