2005-山东卷理-18 解-古典概型与组合计数

本题导读

本题考查超几何分布背景下的基本计数、不放回轮流抽样模型中随机变量分布列的求解，以及互斥事件概率的计算。

📌【题干】

Question

（2005年山东卷(理)） 袋中装有黑球和白球共 7 个，从中任取 2 个球都是白球的概率为 $\frac{1}{7}$，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取 1 球，甲先取，乙后取，然后甲再取 $\cdots$，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用 $\xi$ 表示取球终止所需要的取球次数.

(1)求袋中所有的白球的个数；

(2)求随机变量 $\xi$ 的概率分布；

(3)求甲取到白球的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：设白球有 $n$ 个，利用组合数表示任取 2 个都是白球的概率，列出方程 $\frac{C_n^2}{C_7^2}=\frac{1}{7}$ 求解 $n$。
2. 第二问：明确黑球有 4 个，白球有 3 个。不放回抽样中，$\xi$ 的可能取值为 1, 2, 3, 4, 5。分别利用排列或分步概率乘法公式求出各个取值的概率，列出表格。
3. 第三问：甲取到白球对应取球次数 $\xi =1,3,5$ 的情况。这三个事件互斥，将其概率相加即得结果。

✅【答案】

Success

白球有3个；P(ξ=1)=\dfrac{3}{7}，P(ξ=2)=\dfrac{2}{7}，P(ξ=3)=\dfrac{6}{35}，P(ξ=

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）设袋中有白球 $n$ 个（$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 且 $n\le 7$）。 从 7 个球中任取 2 个球的方法数为 $C_7^2=\frac{7\times 6}{2}=21$。 任取 2 个球都是白球的方法数为 $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$。 由题意得： $\frac{C_n^2}{C_7^2}=\frac{1}{7}⟹\frac{\frac{n(n-1)}{2}}{21}=\frac{1}{7}⟹\frac{n(n-1)}{2}=3⟹n(n-1)=6$ 解得 $n=3$ 或 $n=-2$（舍去）。 故袋中所有的白球个数为 3 个（此时黑球个数为 $7-3=4$ 个）。

（2）由题意可知，由于黑球共有 4 个，最极端情况是连续摸出 4 个黑球，第 5 次必然摸出白球终止。 因此，随机变量 $\xi$ 的可能取值为 1, 2, 3, 4, 5。

分别计算对应的概率：

• $P(\xi =1)=\frac{3}{7}$
• $P(\xi =2)=\frac{4}{7}\times \frac{3}{6}=\frac{2}{7}$
• $P(\xi =3)=\frac{4}{7}\times \frac{3}{6}\times \frac{3}{5}=\frac{6}{35}$
• $P(\xi =4)=\frac{4}{7}\times \frac{3}{6}\times \frac{2}{5}\times \frac{3}{4}=\frac{3}{35}$
• $P(\xi =5)=\frac{4}{7}\times \frac{3}{6}\times \frac{2}{5}\times \frac{1}{4}\times \frac{3}{3}=\frac{1}{35}$

随机变量 $\xi$ 的概率分布列为：

$\xi$	1	2	3	4	5
$P$	$\frac{3}{7}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{6}{35}$	$\frac{3}{35}$	$\frac{1}{35}$

（验证：$\frac{15}{35}+\frac{10}{35}+\frac{6}{35}+\frac{3}{35}+\frac{1}{35}=1$，符合要求）

（3）甲先取，分别在第 1 次、第 3 次、第 5 次摸球。 故甲取到白球的事件对应为 $\xi =1,3,5$。由于这三个事件两两互斥，其概率为： $P(\text{甲取到白球})=P(\xi =1)+P(\xi =3)+P(\xi =5)$ $=\frac{3}{7}+\frac{6}{35}+\frac{1}{35}=\frac{15}{35}+\frac{6}{35}+\frac{1}{35}=\frac{22}{35}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：超几何分布基本代数模型、离散型随机变量分布列的严密求法。
2. 核心方法：分步乘法公式、互斥事件加法。
3. 避坑指南：

• 确定 $\xi$ 的最大值时必须紧扣黑球数量限制。本题黑球仅 4 个，故第 5 次必为白球，$\xi$ 的可能取值绝不能写到 6 或 7。
• 每次乘法计算后注意总球数和黑球数的递减（不放回特征）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自概率论中典型的“摸球终止游戏”模型，是考查非独立重复试验（不放回摸球）的经典解答题。
2. 结论推广：若袋中有 $M$ 个白球，$N$ 个黑球，甲乙不放回轮流摸球至摸到白球终止，则试验最多进行 $N+1$ 次；甲获胜（摸到白球）的概率可由所有奇数项概率求和得到。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)