2005-山东卷理-17 解-向量的坐标运算与模长

本题导读

本题综合考查平面向量的坐标加法、模长公式，以及三角恒等变换中的两角和差与二倍角公式。

📌【题干】

Question

（2005年山东卷(理)） 已知向量 $\vec{m}=(\cos \theta ,\sin \theta )$ 和 $\vec{n}=(\sqrt{2}-\sin \theta ,\cos \theta )$，$\theta \in (\pi ,2\pi )$，且 $|\vec{m}+\vec{n}|=\frac{8\sqrt{2}}{5}$，求 $\cos \left(\frac{\theta }{2}+\frac{\pi }{8}\right)$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 利用向量加法的坐标运算法则求出 $\vec{m}+\vec{n}$ 的坐标表示。
2. 利用模长公式 $|\vec{x}|=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$ 建立关于 $\theta$ 的方程，并化简求出 $\sin \theta -\cos \theta$ 的值。
3. 将所求式 $\cos \left(\frac{\theta }{2}+\frac{\pi }{8}\right)$ 进行平方或利用二倍角公式逆用，建立其与 $\sin \theta -\cos \theta$ 的代数关联，结合 $\theta$ 的范围确定最终符号。

✅【答案】

Success

$\cos \left(\frac{\theta }{2}+\frac{\pi }{8}\right)=-\frac{4}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

解：由向量的坐标加法可得： $\vec{m}+\vec{n}=(\cos \theta +\sqrt{2}-\sin \theta ,\sin \theta +\cos \theta )$

根据向量模长公式，有： $|\vec{m}+\vec{n}{|}^2=(\cos \theta -\sin \theta +\sqrt{2}{)}^2+(\sin \theta +\cos \theta {)}^2$

展开各项： $(\cos \theta -\sin \theta +\sqrt{2}{)}^2=(\cos \theta -\sin \theta {)}^2+2\sqrt{2}(\cos \theta -\sin \theta )+2$ $={\cos }^2\theta -2\sin \theta \cos \theta +{\sin }^2\theta +2\sqrt{2}(\cos \theta -\sin \theta )+2$ $=1-2\sin \theta \cos \theta +2\sqrt{2}(\cos \theta -\sin \theta )+2$

同时展开第二项： $(\sin \theta +\cos \theta {)}^2={\sin }^2\theta +2\sin \theta \cos \theta +{\cos }^2\theta =1+2\sin \theta \cos \theta$

两部分相加合并，消去 $2\sin \theta \cos \theta$ 得到： $|\vec{m}+\vec{n}{|}^2=1+2\sqrt{2}(\cos \theta -\sin \theta )+2+1+2\sin \theta \cos \theta -2\sin \theta \cos \theta$ $=4-2\sqrt{2}(\sin \theta -\cos \theta )$

已知 $|\vec{m}+\vec{n}|=\frac{8\sqrt{2}}{5}$，则 $|\vec{m}+\vec{n}{|}^2=\frac{128}{25}$。 代入方程得： $4-2\sqrt{2}(\sin \theta -\cos \theta )=\frac{128}{25}$ $2\sqrt{2}(\sin \theta -\cos \theta )=4-\frac{128}{25}=-\frac{28}{25}$ $\sin \theta -\cos \theta =-\frac{14}{25\sqrt{2}}=-\frac{7\sqrt{2}}{25}\text{(1)}$

考虑要求的式子 $G=\cos \left(\frac{\theta }{2}+\frac{\pi }{8}\right)$。利用二倍角降幂公式： ${\cos }^2\left(\frac{\theta }{2}+\frac{\pi }{8}\right)=\frac{1+\cos \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)}{2}$

利用两角和的余弦公式展开： $\cos \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)=\cos \theta \cos \frac{\pi }{4}-\sin \theta \sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \theta -\sin \theta )=-\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin \theta -\cos \theta )$

将①代入上式： $\cos \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\times \left(-\frac{7\sqrt{2}}{25}\right)=\frac{7}{25}$

从而： ${\cos }^2\left(\frac{\theta }{2}+\frac{\pi }{8}\right)=\frac{1+\frac{7}{25}}{2}=\frac{16}{25}$

由于 $\theta \in (\pi ,2\pi )$，可得： $\frac{\pi }{2}<\frac{\theta }{2}<\pi ⟹\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{8}<\frac{\theta }{2}+\frac{\pi }{8}<\pi +\frac{\pi }{8}$ 即 $\frac{5\pi }{8}<\frac{\theta }{2}+\frac{\pi }{8}<\frac{9\pi }{8}$。

由①知 $\sin \theta -\cos \theta <0⟹\sqrt{2}\sin \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)<0⟹\sin \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)<0$。 已知 $\theta \in (\pi ,2\pi )⟹\theta -\frac{\pi }{4}\in \left(\frac{3\pi }{4},\frac{7\pi }{4}\right)$。 要使正弦值为负，必有 $\pi <\theta -\frac{\pi }{4}<\frac{7\pi }{4}⟹\frac{5\pi }{4}<\theta <2\pi$。

由此进一步缩小 $\frac{\theta }{2}+\frac{\pi }{8}$ 的范围： $\frac{5\pi }{8}<\frac{\theta }{2}<\pi ⟹\frac{3\pi }{4}<\frac{\theta }{2}+\frac{\pi }{8}<\pi +\frac{\pi }{8}$ 在此区间 $\left(\frac{3\pi }{4},\frac{9\pi }{8}\right)$ 内，当角小于 $\pi$ 时余弦为负；当角略大于 $\pi$ 时（到 $\frac{9\pi }{8}$）余弦也为负。 因此，$\cos \left(\frac{\theta }{2}+\frac{\pi }{8}\right)<0$ 恒成立。

对开方结果取负值： $\cos \left(\frac{\theta }{2}+\frac{\pi }{8}\right)=-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量坐标运算、二倍角降幂公式、三角函数符号判定。
2. 核心方法：两角和与二倍角公式的综合应用。
3. 避坑指南：由 ${\cos }^2\alpha =\frac{16}{25}$ 开方时，切勿盲目直接写成 $\pm \frac{4}{5}$。必须严密利用已知自变量范围 $\theta \in (\pi ,2\pi )$ 结合导出的不等式关系，精准锁定半角所在象限的符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自对平面向量工具性（通过坐标提供代数方程）与传统三角恒等变换深度融合的经典考查题型。
2. 结论推广：处理形如 $\cos (\frac{\theta }{2}+\varphi )$ 求解问题时，通常通过平方降幂转化为考查 $\cos (\theta +2\varphi )$，利用已知的一倍角三角函数值实现跨步求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

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