2005-山东卷理-16 填-空间点、线、面的位置关系

本题导读

本题考查立体几何中线线、线面、面面平行与垂直的判定定理及性质定理，要求对空间想象能力与逻辑推理有较高严密性。

📌【题干】

Question

（2005年山东卷(理)） 已知 $m、n$ 是不同的直线，$\alpha 、\beta$ 是不重合的平面，给出下列命题： ① 若 $\alpha \parallel \beta$，$m\subset \alpha$，$n\subset \beta$，则 $m\parallel n$； ② 若 $m,n\subset \alpha$，$m\parallel \beta$，$n\parallel \beta$，则 $\alpha \parallel \beta$； ③ 若 $m\perp \alpha$，$n\perp \beta$，$m\parallel n$，则 $\alpha \parallel \beta$； ④ $m,n$ 是两条异面直线，若 $m\parallel \alpha$，$m\parallel \beta$，$n\parallel \alpha$，$n\parallel \beta$，则 $\alpha \parallel \beta$. 上面的命题中，真命题的序号是$\underline{}$.（写出所有真命题的序号）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析①：利用面面平行的性质判断，两个平面平行，它们各自内部的直线可能平行，也可能互为异面直线。
2. 分析②：利用面面平行的判定定理判断，必须是同一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，才能推导出面面平行。
3. 分析③：利用线面垂直的性质定理逆用判断，垂直于同一条直线（或平行直线）的两个平面互相平行。
4. 分析④：利用线面平行的性质，通过将异面直线进行平移相交构造，结合面面平行的判定定理进行推导。

✅【答案】

Success

③④

✍【详细解析】

Abstract

解：逐一辨析各命题的真伪：

• ① 假命题：若两个平面 $\alpha \parallel \beta$，分属于两个平面的直线 $m,n$ 没有公共点。但在三维空间中，没有公共点的两条直线可能平行，也可能互为异面直线。

• ② 假命题：面面平行的判定定理指出：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，这两个平面才平行。已知中未指出 $m,n$ 相交。若 $m\parallel n$，则包含 $m,n$ 的平面 $\alpha$ 可以与 $\beta$ 相交（两条平行线同平行于交线即可）。

• ③ 真命题： 因为 $m\perp \alpha$ 且 $m\parallel n$，根据线面垂直的性质，平行线中的另一条也垂直于该平面，得 $n\perp \alpha$。 又已知 $n\perp \beta$，由“垂直于同一条直线的两个平面互相平行”的定理，可得 $\alpha \parallel \beta$ 恒成立。

• ④ 真命题： 在空间中任取一点 $O$，过点 $O$ 作直线 $m^{\prime }\parallel m$，$n^{\prime }\parallel n$。 因为 $m,n$ 是异面直线，所以平移后的 $m^{\prime },n^{\prime }$ 是两条相交直线，它们共同确定一个平面 $\gamma$。 因为 $m\parallel \alpha$ 且 $n\parallel \alpha$，由线面平行的性质，平移后的相交直线 $m^{\prime },n^{\prime }$ 必然都平行于平面 $\alpha$（或在 $\alpha$ 内）。由此可知，由它们确定的平面 $\gamma \parallel \alpha$（或重合）。 同理，因为 $m\parallel \beta$ 且 $n\parallel \beta$，可得由 $m^{\prime },n^{\prime }$ 确定的平面 $\gamma \parallel \beta$（或重合）。 由于 $\alpha ,\beta$ 是不重合的平面，它们同时平行（或重合）于同一个平面 $\gamma$，故 $\alpha \parallel \beta$ 成立。

综上所述，真命题的序号是 ③④。

答案：③④

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：面面平行的判定定理（必须相交）、线面垂直与面面平行的转化。
2. 核心方法：定理推导法、正方体模型反例法。
3. 避坑指南：

• 命题 ② 是高频易错点，大批考生容易遗漏“相交”这一关键核心前提。
• 面对复杂的空间平行命题（如 ④），借助正方体的各个棱与面进行极端位置代入（长方体模型法），能极快推翻错误命题或加深对真命题的理解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中立体几何位置关系判定章节的复习思考题，重点考查空间几何定理定义的严密性。
2. 结论推广：空间中“垂直于同一直线的两平面平行”（命题③）与“平行于同一平面的两平面平行”（命题④的内在逻辑）是空间平行、垂直关系网中极其核心的两个递推性质。

🔗【关联脉络】

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• 13.03 空间点、线、面位置关系

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