2005-山东卷理-14 填-双曲线的离心率

本题导读

本题考查双曲线的几何性质，以及渐近线、准线与焦点构成的三角形为直角三角形时离心率的求法。

📌【题干】

Question

（2005年山东卷(理)） 设双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$) 的右焦点为 $F$，右准线 $l$ 与两条渐近线交于 $P,Q$ 两点，如果 $△PQF$ 是直角三角形，则双曲线的离心率 $e=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 写出右焦点 $F$、右准线 $l$ 与两条渐近线的方程，联立求出交点 $P,Q$ 的坐标。
2. 观察 $P,Q$ 关于 $x$ 轴对称，故 $△PQF$ 是等腰三角形，直角只能出现在顶点 $F$ 处。
3. 由 $\overrightarrow{FP}\perp \overrightarrow{FQ}$（数量积为零）建立关于 $a,b,c$ 的等式，结合 $c^2=a^2+b^2$ 求出离心率。

✅【答案】

Success

$\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的右焦点为 $F(c,0)$，其中 $c=\sqrt{a^2+b^2}$；右准线方程为 $x=\frac{a^2}{c}$，两条渐近线方程分别为 $y=\frac{b}{a}x$ 与 $y=-\frac{b}{a}x$。

将 $x=\frac{a^2}{c}$ 分别代入两条渐近线方程，得交点： $P\left(\frac{a^2}{c},\frac{ab}{c}\right),Q\left(\frac{a^2}{c},-\frac{ab}{c}\right)$ 显然 $P,Q$ 关于 $x$ 轴对称，故 $|FP|=|FQ|$，$△PQF$ 是等腰三角形。

等腰三角形若为直角三角形，直角只能位于顶点 $F$ 处，即 $\overrightarrow{FP}\perp \overrightarrow{FQ}$。计算： $\overrightarrow{FP}=\left(\frac{a^2}{c}-c,\frac{ab}{c}\right)=\left(-\frac{b^2}{c},\frac{ab}{c}\right)$ $\overrightarrow{FQ}=\left(-\frac{b^2}{c},-\frac{ab}{c}\right)$

由数量积为零： $\overrightarrow{FP}\cdot \overrightarrow{FQ}=\frac{b^4}{c^2}-\frac{a^2{b}^2}{c^2}=\frac{b^2(b^2-a^2)}{c^2}=0$ 因为 $b>0$，故 $b^2=a^2$，于是 $c^2=a^2+b^2=2a^2$。

所以离心率： $e=\frac{c}{a}=\sqrt{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线焦点、准线、渐近线坐标关系，等腰三角形与直角三角形的判定。
2. 核心方法：利用对称性将直角锁定在顶点 $F$ 处，再用向量数量积为零建立等式。
3. 避坑指南：一是勿忽略 $P,Q$ 关于 $x$ 轴对称导致的等腰结构，否则会多讨论底角为直角的情形；二是最终要落实到离心率 $e=\frac{c}{a}$，而非只求出 $c^2=2a^2$ 就停。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中双曲线几何性质的基本习题，将渐近线、准线、焦点三者构成的三角形与直角条件结合。
2. 结论推广：对双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其右准线与两渐近线交点、右焦点构成的三角形为直角三角形时，必有 $a=b$，即双曲线为等轴双曲线，离心率恒为 $\sqrt{2}$。

🔗【关联脉络】

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