2005-山东卷理-11 单-对数的换底公式与性质

本题导读

本题考查对数函数的性质、换底公式以及基本不等式在非等号条件下的严格不等号判定。

📌【题干】

Question

（2005年山东卷(理)） 已知 $0<a<1$，下列不等式一定成立的是()

A. $|{\log }_{1+a}(1-a)|+|{\log }_{1-a}(1+a)|>2$

B. $|{\log }_{1+a}(1-a)|<|{\log }_{1-a}(1+a)|$

C. $|{\log }_{1+a}(1-a)+{\log }_{1-a}(1+a)|<|{\log }_{1+a}(1-a)|+|{\log }_{1-a}(1+a)|$

D. $|{\log }_{1+a}(1-a)-{\log }_{1-a}(1+a)|<||{\log }_{1+a}(1-a)|-|{\log }_{1-a}(1+a)||$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析对数式中底数与真数的取值范围，判断对数值的正负符号以去掉绝对值。
2. 利用换底公式找出两个对数绝对值之间的倒数关系，运用基本不等式并严格验证等号成立条件，从而确定其和的范围。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：因为 $0<a<1$，所以 $1+a>1$ 且 $0<1-a<1$。 根据对数函数的性质，底数大于 1 且真数在 $(0,1)$ 之间时，对数值为负，即： ${\log }_{1+a}(1-a)<0⟹|{\log }_{1+a}(1-a)|=-{\log }_{1+a}(1-a)$

同理，底数在 $(0,1)$ 之间且真数大于 1 时，对数值也为负，即： ${\log }_{1-a}(1+a)<0⟹|{\log }_{1-a}(1+a)|=-{\log }_{1-a}(1+a)$

由换底公式 ${\log }_{m}n\cdot {\log }_{n}m=1$ 可知： ${\log }_{1+a}(1-a)\cdot {\log }_{1-a}(1+a)=1$ 所以其绝对值的乘积同样满足： $|{\log }_{1+a}(1-a)|\cdot |{\log }_{1-a}(1+a)|=1$

设 $x=|{\log }_{1+a}(1-a)|>0$，则 $|{\log }_{1-a}(1+a)|=\frac{1}{x}$。 若 $x=1$，则 $-{\log }_{1+a}(1-a)=1⟹1-a=\frac{1}{1+a}⟹1-a^2=1⟹a=0$，这与已知条件 $0<a<1$ 矛盾，故 $x\ne 1$。

根据基本不等式，当 $x>0$ 且 $x\ne 1$ 时，恒有： $x+\frac{1}{x}>2$ 即： $|{\log }_{1+a}(1-a)|+|{\log }_{1-a}(1+a)|>2$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数的换底公式、对数式符号的判定、基本不等式。
2. 核心方法：变量代换法、基本不等式控制法。
3. 避坑指南：在使用基本不等式 $x+\frac{1}{x}\ge 2$ 时，务必验证等号能否取到。本题中等号取到的边界条件对应的参数为 $a=0$，在已知条件 $0<a<1$ 约束下无法取到，因此必须使用严格的大于号，切勿盲目保留等号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中对数换底公式与基本不等式的经典综合性质演练，通过引入绝对值符号加深对对数符号判定的考查。
2. 结论推广：设 $u>0,v>0$ 且 $u\ne 1,v\ne 1$。若 ${\log }_{u}v<0$，则有 $|{\log }_{u}v|+|{\log }_{v}u|\ge 2$，当且仅当 $u\cdot v=1$ 时等号严格成立。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)