2005-山东卷理-09 单-古典概型

本题导读

本题考查古典概型的概率计算以及利用对立事件简化计数的“正难则反”思想。

📌【题干】

Question

（2005年山东卷(理)） 10 张奖券中只有 3 张有奖，5 个人购买，每人 1 张，至少有 1 人中奖的概率是()

A. $\frac{3}{10}$　　　　　　B. $\frac{1}{12}$　　　　　　C. $\frac{1}{2}$　　　　　　D. $\frac{11}{12}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别“至少有 1 人中奖”的对立事件为“5 人均未中奖”。
2. 计算总的抽样基本事件数 $C_{10}^5$ 与对立事件包含的基本事件数 $C_7^5$，求得对立事件概率后用 1 减去该值。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

从 10 张奖券中随机抽取 5 张，总的抽取方法数为： $C_{10}^5=\frac{10\times 9\times 8\times 7\times 6}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}=252$

“至少有 1 人中奖”的对立事件为“5 个人买到的都是无奖的奖券”。 因为无奖的奖券共有 $10-3=7$ 张，所以 5 人均未中奖的抽取方法数为： $C_7^5=C_7^2=\frac{7\times 6}{2\times 1}=21$

由此可得，5 人均未中奖的概率为： $P(\text{均未中奖})=\frac{C_7^5}{C_{10}^5}=\frac{21}{252}=\frac{1}{12}$

根据对立事件的概率公式，至少有 1 人中奖的概率为： $P=1-P(\text{均未中奖})=1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型的组合数计数、对立事件概率公式 $P(A)=1-P(\overline{A})$。
2. 核心方法：间接求解法（“正难则反”思想）。
3. 避坑指南：计算 $C_{10}^5$ 与 $C_7^5$ 的约分过程需细心，切勿将无奖券数 7 记错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中关于“古典概型与对立事件”的经典课后习题，重点考查利用集合的补集思想简化计数。
2. 结论推广：若 $N$ 张券中含有 $M$ 张有奖券，随机分给 $k$ 个人（每人 1 张，其中 $k\le N-M$），则至少有 1 人中奖的概率通用公式为 $1-\frac{C_{N-M}^k}{C_N^k}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 15.02 随机事件、关系与独立性

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