2005-山东卷理-08 单-球面距离与弧长公式

本题导读

本题考查地球表面两点球面距离的计算，核心在于通过相同经度判断大圆，并利用纬度求出中心角。

📌【题干】

Question

（2005年山东卷(理)） 设地球的半径为 $R$，若甲地位于北纬 $45^{\circ }$ 东经 $120^{\circ }$，乙地位于南纬 $75^{\circ }$ 东经 $120^{\circ }$，则甲、乙两地的球面距离为()

A. $\sqrt{3}R$　　　　　　B. $\frac{\pi }{6}R$　　　　　　C. $\frac{5\pi }{6}R$　　　　　　D. $\frac{2\pi }{3}R$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别特殊经纬度特征：甲乙两地东经度相同，说明它们处于同一经线圈大圆上。
2. 计算两地相对球心的张角：甲地在北，乙地在南，两地对球心的夹角（中心角）为两纬度绝对值之和。
3. 利用弧长公式 $s=R\theta$ 求出两点间的球面距离。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：因为甲地与乙地都位于东经 $120^{\circ }$，经度相同， 所以甲、乙两地处于同一个经线圈上，它们之间的球面最短距离即为此大圆上对应的劣弧长。

已知甲地为北纬 $45^{\circ }$，乙地为南纬 $75^{\circ }$， 故甲、乙两点对球心 $O$ 的张角（中心角） $\theta$ 为： $\theta =45^{\circ }+75^{\circ }=120^{\circ }$

将角度值转化为弧度制： $\theta =120^{\circ }\times \frac{\pi }{180^{\circ }}=\frac{2\pi }{3}$

根据球面距离公式，大圆弧长 $s$ 为： $s=R\cdot \theta =\frac{2\pi }{3}R$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：球面距离的定义（过两点的大圆劣弧长）、经纬度与球心角的关系。
2. 核心方法：弧长公式转化法。
3. 避坑指南：计算中心角时应注意南北纬的方向，一北一南应当将纬度相加，切勿盲目相减错算成 $75^{\circ }-45^{\circ }=30^{\circ }$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自立体几何“球”一节中关于大圆与球面距离的基础性质习题，侧重考查将实际地理坐标进行三维几何建模的能力。
2. 结论推广：若球面上两点位于同一经线上，且纬度分别为北纬 $\alpha$ 和南纬 $\beta$，则它们的球面距离恒为 $\frac{(\alpha +\beta )\pi }{180}R$。

🔗【关联脉络】

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• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

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