2005-山东卷理-06 单-分段函数及其求值

本题导读

本题考查分段函数的求值以及分类讨论思想在指数方程和三角方程求解中的应用。

📌【题干】

Question

（2005年山东卷(理)） 函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\sin (\pi x^2),& -1<x<0\\ {\text{e}}^{x-1},& x\ge 0\end{array}$，若 $f(1)+f(a)=2$，则 $a$ 的所有可能值为()

A. 1　　　　　　B. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　C. $1,-\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　D. $1,\frac{\sqrt{2}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 先求出已知自变量对应的函数值 $f(1)$，代入条件式转化为关于 $f(a)=1$ 的方程。
2. 根据自变量 $a$ 所处的不同区间进行分类讨论，分别联立对应的分段解析式求解。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解：当 $x=1\ge 0$ 时，代入对应的解析式得： $f(1)={\text{e}}^{1-1}={\text{e}}^0=1$

因为 $f(1)+f(a)=2$，所以： $1+f(a)=2⟹f(a)=1$

对自变量 $a$ 的取值范围进行分类讨论：

1. 当 $a\ge 0$ 时，有 ${\text{e}}^{a-1}=1⟹a-1=0⟹a=1$，满足 $a\ge 0$；
2. 当 $-1<a<0$ 时，有 $\sin (\pi x^2)=1$ 即 $\sin (\pi a^2)=1$。 因为 $-1<a<0$，所以 $0<a^2<1⟹0<\pi a^2<\pi$。 在此范围内，令 $\pi a^2=\frac{\pi }{2}⟹a^2=\frac{1}{2}$。 解得 $a=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$，又因 $-1<a<0$，故取 $a=-\frac{\sqrt{2}}{2}$。

综上所述，$a$ 的所有可能值为 $1$ 或 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数的对应法则、初等方程的区间解集。
2. 核心方法：分类讨论法。
3. 避坑指南：在求解三角方程 $\sin (\pi a^2)=1$ 时，必须结合已知自变量范围 $-1<a<0$ 对角度范围进行限定控制，防止漏掉负根或错选正根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题基于分段函数的经典题型进行设计，综合了指数函数与含有复合结构的正弦函数。
2. 结论推广: 处理分段函数方程 $f(x)=k$ 时，通例方法是将每一段的解析式分别等于 $k$ 求解，并务必将求出的解带回该段的自变量区间进行有效性检验。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)